Heç bir şey haqqında məqalə

Uşaq vaxtı, yəqin ki, bir çox oxuculara məlum olan “dırnaqda şorba” hekayəsi məni valeh etdi. Nənəm (XNUMX əsrin doğum tarixi) bunu mənə "Kazak gəldi və su istədi, çünki dırnaq var və üzərinə şorba bişirəcək" dedi. Maraqlı sahibə ona bir qazan su verdi... və sonra nə baş verdiyini bilirik: “şorba duzlu olmalıdır, dadı, nənə, duzlu olmalıdır”, sonra əti “dadını yaxşılaşdırmaq üçün” yudu və s. Sonda “qaynadılmış” mismarını atıb.

Deməli, bu məqalə kosmosun boşluğundan bəhs etməli idi - bu, 67 noyabr 12-cü ildə Avropa aparatının 2014P / Çuryumov-Gerasimenko kometasına enməsi haqqındadır. Mən hələ də riyaziyyatçıyam. Necədir Kimiс Sıfır riyaziyyat?

Heç bir şey necə mövcud deyil?

Heç bir şeyin olmadığını söyləmək olmaz. Ən azı fəlsəfi, riyazi, dini və mükəmməl danışıq anlayışı kimi mövcuddur. Sıfır adi bir ədəddir, termometrdə sıfır dərəcə də temperaturdur və bankda sıfır balans xoşagəlməz, lakin adi bir hadisədir. Qeyd edək ki, xronologiyada sıfır il yoxdur və bunun səbəbi sıfırın riyaziyyata yalnız orta əsrlərin sonlarında, rahib Dionisinin təklif etdiyi xronologiyadan sonra (XNUMX əsr) daxil olmasıdır.

Qəribədir ki, biz həqiqətən bu sıfır olmadan və deməli, mənfi ədədlər olmadan edə bilərdik. Məntiq dərsliklərinin birində mən bir məşq tapdım: çəkin və ya balığın olmamasını necə təsəvvür etdiyinizi söyləyin. Təəccüblüdür, elə deyilmi? Hər kəs balıq çəkə bilər, amma bir yox?

İndi qısaca əsas riyaziyyat kursu. Üzəri üzərindən xətt çəkilmiş ∅ dairəsi ilə işarələnmiş boş çoxluğa mövcudluq imtiyazının verilməsi ədədlər çoxluğuna sıfırın əlavə edilməsinə bənzər zəruri prosedurdur. Boş çoxluq heç bir elementi olmayan yeganə çoxluqdur. Belə kolleksiyalar:

Ancaq iki fərqli boş dəst yoxdur. Boş dəst bütün digər dəstlərə daxildir:

Həqiqətən də, riyazi məntiqin qaydaları deyir ki, A çoxluğu B çoxluğunda olur, o halda ki, cümlə:

ehtiva edir

Boş ∅ çoxluğu vəziyyətində müddəa həmişə yanlışdır və beləliklə, məntiq qanunlarına əsasən, implikasiya ümumiyyətlə doğrudur. Hər şey yalandan qaynaqlanır (“burada, növbəti sinfə keçsən, kaktus yetişdirəcəyəm...”). Beləliklə, boş çoxluq digərlərinin hər birində olduğu üçün, əgər onlar iki fərqli olsaydılar, hər biri digərində olardı. Bununla belə, əgər iki dəst bir-birinin içərisindədirsə, onlar bərabərdirlər. Buna görə də: yalnız bir boş dəst var!

Boş çoxluğun mövcudluğu postulatı riyaziyyatın heç bir qanunu ilə ziddiyyət təşkil etmir, bəs niyə onu praktikada tətbiq etməyək? adlı fəlsəfi prinsipOccamın ülgücü» Lazımsız anlayışları istisna etmək üçün bir əmr, lakin düzgün boş çoxluq anlayışı riyaziyyatda çox faydalıdır. Qeyd edək ki, boş çoxluğun ölçüsü -1 (mənfi bir) - sıfır ölçülü elementlər nöqtələr və onların seyrək sistemləri, bir ölçülü elementlər xətlərdir və fraktallar haqqında fəsildə fraktal ölçüsü olan çox mürəkkəb riyazi elementlərdən danışdıq. .

Maraqlıdır ki, riyaziyyatın bütün binası: ədədlər, ədədlər, funksiyalar, operatorlar, inteqrallar, diferensiallar, tənliklər... bir anlayışdan - boş çoxluqdan əldə edilə bilər! Boş bir çoxluq olduğunu güman etmək kifayətdir, yeni yaradılmış elementlər dəstlərə birləşdirilə bilər. bütün riyaziyyatı qurun. Alman məntiqçisi Qotlob Frege natural ədədləri belə qurmuşdur. Sıfır elementləri boş çoxluğun elementləri ilə qarşılıqlı uyğunluqda olan çoxluqlar sinfidir. Biri, elementləri tək elementi boş çoxluq olan çoxluğun elementləri ilə qarşılıqlı uyğunluqda olan çoxluqlar sinfidir. İki elementləri boş çoxluqdan ibarət çoxluğun elementləri ilə tək-tək olan çoxluqlar sinfidir və yeganə elementi boş çoxluq olan çoxluq... və s. İlk baxışdan bu çox mürəkkəb bir şey kimi görünsə də, əslində elə deyil.

Mavi üstümə yayıldı

xəzəl qoxusu gəlirdi və nanə qoxusu gəlirdi...

Wojciech Mlynarski, Məhsul yığan qız

Təsəvvür etmək çətindir

Heç bir şey təsəvvür etmək çətin deyil. Stanisław Lem-in "Dünya necə xilas oldu" hekayəsində dizayner Trurl hərflə başlayan hər şeyi edəcək bir maşın düzəltdi. Klapaucius onun tikilməsini əmr edəndə Nic, maşın dünyadan müxtəlif obyektləri yığışdırmağa başladı - son məqsədi hər şeyi silmək. Qorxmuş Klapaucius maşını saxladıqda, qalereyalar, yews, asma, çubuqlar, qafiyələr, döyənlər, puflar, dəyirmanlar, şişlər, filidronlar və şaxtalar əbədi olaraq yox oldu. Və həqiqətən də əbədi olaraq yox oldular ...

Jozef Tischner "Dağ Fəlsəfəsi Tarixi" əsərində heçlik haqqında çox gözəl yazmışdır. Son məzuniyyətim zamanı bu heçliyi yaşamaq qərarına gəldim, yəni Podhaledəki Nowy Targ və Jablonka arasındakı torf bataqlıqlarına getdim. Bu ərazi hətta Pustachia adlanır. Sən gedirsən, gedirsən, amma yol azalmır - əlbəttə ki, bizim təvazökar, Polşa miqyasında. Bir dəfə Kanadanın Saskaçevan əyalətindən avtobusa mindim. Pəncərənin kənarında qarğıdalı tarlası var idi. Yarım saat yatdım. Yuxudan ayılanda eyni qarğıdalı tarlasında maşınla gedirdik... Amma gözləyin, bura boşdur? Müəyyən mənada dəyişikliyin olmaması sadəcə boşluqdur.

Biz ətrafımızda müxtəlif obyektlərin daimi mövcudluğuna öyrəşmişik və bir şey gözləriniz bağlı olsa belə qaça bilməzsiniz. "Düşünürəm, deməli, varam" dedi Dekart. Əgər mən artıq nəyisə düşünmüşəmsə, deməli, mən varam, bu o deməkdir ki, dünyada heç olmasa nəsə var (yəni mən). Düşündüyüm şey varmı? Bunu müzakirə etmək olar, lakin müasir kvant mexanikasında Heisenberg prinsipi məlumdur: hər bir müşahidə müşahidə olunan obyektin vəziyyətini pozur. Biz bunu görənə qədər Nic mövcud deyil və biz baxmağa başlayanda obyekt olmaqdan çıxır Kimi və olur bir şey. Bu absurdlaşır antropik prinsip: Biz olmasaydıq dünyanın necə olacağını soruşmağın mənası yoxdur. Dünya bizə göründüyü kimidir. Bəlkə başqa varlıqlar Yeri bucaq şəklində görəcəklər?

Pozitron (belə müsbət elektron) kosmosda bir dəlikdir, "elektron yoxdur". Annigilyasiya prosesində elektron bu çuxura sıçrayır və “heç nə baş vermir” – nə dəlik, nə də elektron. İsveçrə pendirindəki deşiklər haqqında çoxlu zarafatları atlayacağam ("nə qədər çox olsam, bir o qədər az ..."). Məşhur bəstəkar Con Keyc artıq ideyalarından o qədər istifadə etmişdi ki, orkestrin 4 dəqiqə 33 saniyə hərəkətsiz oturduğu və təbii ki, heç nə çalmadığı bir musiqi (?) əsəri (?) bəstələmişdi. "Dörd dəqiqə otuz üç saniyə iki yüz yetmiş üç, 273, mənfi 273 dərəcə isə mütləq sıfırdır, bu zaman bütün hərəkətlər dayanır" deyə bəstəkar (?) izah etdi.

Sıfıra süzün, heç nə, nik, nik, heç nə, sıfır!

Jerzy, Andrzej Wajdanın "İllər ərzində" filmində,

günlər keçir"

Bəs hamı necə?

Bir çox insan (sadə əkinçilərdən tutmuş görkəmli filosoflara qədər) varlıq fenomeni ilə maraqlanırdı. Riyaziyyatda vəziyyət sadədir: ardıcıl olan bir şey var.

O, marjinal sahələrə itdi

Qarğıdalı çiçəklərində, alaq otlarında və aslan ağızlarında ...

Yaxşı, belə şeylər olur

Xüsusilə məhsul yığımında və məhsul yığımında

xüsusilə…

Wojciech Mlynarski, Məhsul yığan qız

Hər şey Heç bir şeyin digər ucundadır. Riyaziyyatda biz bunu bilirik Hər şey mövcud deyil. Onun varlığının mübahisəsiz olacağına dair çox qeyri-dəqiq bir fikir. Bunu köhnə paradoksun nümunəsi ilə başa düşmək olar: “Əgər Allah hər şeyə qadirdirsə, onda götürmək üçün bir daş yaradaraq?”. Bütün çoxluqların çoxluqlarının ola bilməyəcəyinin riyazi sübutu teoremə əsaslanır müğənni-Bershtein, "sonsuz ədəd" (riyazi: kəmiyyət ədədi) verilmiş çoxluğun bütün üzvlərinin çoxluğu bu çoxluğun elementlərinin sayından çoxdur.

Çoxluğun elementləri varsa, onda 2-dirⁿ alt çoxluqlar; məsələn, = 3 olduqda və çoxluq {1, 2, 3}-dən ibarət olduqda, aşağıdakı alt çoxluqlar mövcuddur:

• üç iki elementli dəst: onların hər birində 1, 2, 3 rəqəmlərindən biri yoxdur,
• bir boş dəst,
• üç bir elementli dəst,
• bütün dəst {1,2,3}

- cəmi səkkiz, 2³Və bu yaxınlarda məktəbi bitirən oxucular üçün müvafiq düsturu xatırlatmaq istərdim:

Bu düsturdakı Nyuton simvollarının hər biri -elementlər çoxluğundakı k element dəstlərinin sayını müəyyən edir.

Riyaziyyatda binomial əmsallar bir çox başqa yerlərdə, məsələn, azaldılmış vurma üçün maraqlı düsturlarda görünür:

və onların dəqiq formasına görə onların qarşılıqlı asılılığı daha maraqlıdır.

Məntiq və riyaziyyata gəlincə, nəyin olduğunu və hər şeyin nə olmadığını başa düşmək çətindir. Qeyri-mövcudluq arqumentləri Eynilə qonağı Pələngdən nəzakətlə soruşan Vinni Puhunki kimi Pələnglər ümumiyyətlə bal, palamut və tikanları sevirmi? "Pələnglər hər şeyi sevirlər" deyə cavab verdi Kubus belə nəticəyə gəldi ki, əgər hər şeyi sevirlərsə, o zaman yerdə yatmağı da sevirlər, buna görə də o, Vinnie yatağa qayıda bilər.

Başqa bir arqument Russell paradoksu. Şəhərdə bir bərbər var, özü təraş etməyən kişilərin hamısını qırxır. Özünü qırxdırmı? Hər iki cavab da irəli sürülən şərtlə ziddiyyət təşkil edir ki, yalnız bunu etməyənlər kəsilir.

Bütün kolleksiyalardan ibarət kolleksiya axtarırsınız

Yekun olaraq, bütün dəstlərin heç bir dəstinin olmadığına dair ağıllı, lakin ən riyazi sübut verəcəyəm (onunla qarışdırılmamalıdır).

Əvvəlcə göstərəcəyik ki, hər hansı bir boş olmayan X çoxluğu üçün bu çoxluğu onun P(X) alt çoxluqları çoxluğuna uyğunlaşdıran qarşılıqlı unikal funksiya tapmaq mümkün deyil. Beləliklə, bu funksiyanın mövcud olduğunu düşünək. Onu ənənəvi f ilə işarə edək. x-dən f nədir? Bu kolleksiyadır. xf x-ə aiddir? Bu bilinmir. Ya məcbursan, ya yox. Amma bəzi x üçün yenə də elə olmalıdır ki, o, x-in f-ə aid olmasın. Yaxşı, onda x-in f(x)-ə aid olmadığı bütün x çoxluğunu nəzərdən keçirək. Onu (bu çoxluğu) A ilə işarələyin. O, X çoxluğunun bəzi a elementinə uyğundur. a A çoxluğuna aiddirmi? Tutaq ki, etməlisən. Amma A, yalnız f(x)-ə aid olmayan x elementlərini ehtiva edən çoxluqdur... Yaxşı, bəlkə A-ya aid deyil? Lakin A çoxluğu bu xassələrin bütün elementlərini ehtiva edir və deməli, A. Sübutun sonu.

Odur ki, əgər bütün çoxluqlar toplusu olsaydı, o, özü də öz alt çoxluğu olardı, bu, əvvəlki mülahizələrə görə qeyri-mümkündür.

Heyf, bir çox oxucunun bu sübutu görmədiyini düşünmürəm. Daha doğrusu, mən bunu riyaziyyatçıların on doqquzuncu əsrin sonunda, öz elmlərinin əsaslarını öyrənməyə başlayanda nə etməli olduqlarını göstərmək üçün gündəmə gətirdim. Məlum oldu ki, problemlər heç kimin gözləmədiyi yerdədir. Üstəlik, bütün riyaziyyat üçün əsaslarla bağlı bu mülahizələrin əhəmiyyəti yoxdur: zirzəmilərdə nə olursa olsun - bütün riyaziyyat binası möhkəm qaya üzərində dayanır.

Bu arada yuxarıda...

Stanislav Lemin hekayələrindən daha bir əxlaqı qeyd edirik. Səyahətlərinin birində İyon Tiçi sakinləri uzun bir təkamüldən sonra nəhayət inkişafının ən yüksək mərhələsinə çatan bir planetə çatdı. Onların hamısı güclüdür, hər şeyi edə bilər, hər şey əllərinin altındadır... və heç nə etmirlər. Qumun üstünə uzanıb barmaqlarının arasına tökürlər. "Hər şey mümkündürsə, buna dəyməz" deyə şoka düşən İjona izah edirlər. Qoy bu bizim Avropa sivilizasiyamıza gəlməsin...