KİMƏ, yəni: MÜMKÜN OLDUĞUNUZ YERDƏ SINAYIN - 2-ci hissə

Əvvəlki bölümdə biz Sudoku ilə məşğul olduq, rəqəmlər əsasən müəyyən qaydalara uyğun olaraq müxtəlif diaqramlarda düzülür. Ən çox yayılmış variant əlavə olaraq doqquz 9×9 hücrəyə bölünmüş 3×3 ölçülü şahmat taxtasıdır. Üzərində 1-dən 9-a qədər rəqəmlər qoyulmalıdır ki, nə şaquli cərgədə (riyaziyyatçılar deyir: sütunda), ya da üfüqi cərgədə (riyaziyyatçılar deyir: cərgədə) təkrarlanmasın - və üstəlik, təkrar etmirlər. daha kiçik kvadrat daxilində təkrarlayın.

Na şək. 1 biz bu tapmacanı daha sadə versiyada görürük, yəni 6 × 6 düzbucaqlıya bölünmüş 2 × 3 kvadratdır. Biz ona 1, 2, 3, 4, 5, 6 rəqəmlərini daxil edirik - nə şaquli, nə də şaquli olaraq təkrarlanmasınlar. üfüqi, nə də seçilmiş altıbucaqlıların hər birində.

Gəlin yuxarı kvadratda göstərilməyə çalışaq. Bu oyun üçün müəyyən edilmiş qaydalara uyğun olaraq onu 1-dən 6-ya qədər rəqəmlərlə doldura bilərsinizmi? Bu mümkündür - lakin birmənalı deyil. Baxaq - solda və ya sağda bir kvadrat çəkin.

Deyə bilərik ki, bu, tapmaca üçün əsas deyil. Biz adətən tapmacanın bir həlli olduğunu güman edirik. "Böyük" Sudoku, 9x9 üçün müxtəlif əsasların tapılması vəzifəsi çətin bir işdir və onu tamamilə həll etmək şansı yoxdur.

Digər mühüm əlaqə isə ziddiyyətli sistemdir. Aşağı orta kvadrat (aşağı sağ küncdə 2 rəqəmi olan) tamamlana bilməz. Niyə?

Əyləncə və Retreats

Biz oynayırıq. Gəlin uşaqların intuisiyasından istifadə edək. Onlar əyləncənin öyrənməyə giriş olduğuna inanırlar. Gəlin kosmosa gedək. daxildir şək. 2 hamı şəbəkəni görür tetraedrtoplardan, məsələn, stolüstü tennis toplarından? Məktəb həndəsə dərslərini xatırlayın. Şəkilin sol tərəfindəki rənglər bloku yığarkən onun nəyə yapışdırıldığını izah edir. Xüsusilə, üç künc (qırmızı) top birinə yapışdırılacaq. Buna görə də, onlar eyni sayda olmalıdır. Bəlkə 9. Niyə? Bəs niyə olmasın?

Oh, mən bunu ifadə etmədim vəzifələr. Bu belə səslənir: görünən şəbəkəyə 0-dan 9-a qədər rəqəmləri yazmaq olarmı ki, hər bir üz bütün rəqəmləri ehtiva etsin? Tapşırıq çətin deyil, amma nə qədər təsəvvür etmək lazımdır! Oxucuların zövqünü pozmayacağam və həllini verməyəcəyəm.

Bu çox gözəl və qiymətləndirilməmiş formadır. müntəzəm oktaedr, kvadrat əsaslı iki piramidadan (=piramida) tikilmişdir. Adından göründüyü kimi, səkkizbucaqlının səkkiz üzü var.

Oktaedrdə altı təpə var. Bu ziddiyyət təşkil edir kubaltı üzü və səkkiz təpəsi var. Hər iki topağın kənarları eynidir - hər biri on iki. Bu ikiqat bərk maddələr - bu o deməkdir ki, kubun üzlərinin mərkəzlərini birləşdirərək oktaedr alırıq və oktaedrin üzlərinin mərkəzləri bizə bir kub verəcəkdir. Bu zərbələrin hər ikisi yerinə yetirilir ("məcbur olduqları üçün") Eyler düsturu: Təpələrin sayı ilə üzlərin sayının cəmi kənarların sayından 2 dəfə çoxdur.

3. Paralel proyeksiyada müntəzəm səkkizedr və hər kənarında dörd kürə olacaq şəkildə kürələrdən ibarət olan səkkizadlı qəfəs.

1 tapşırıq. Əvvəlcə riyazi düsturdan istifadə edərək əvvəlki abzasın son cümləsini yazın. Üstündə şək. 3 siz həm də kürələrdən ibarət səkkizbucaqlı bir şəbəkə görürsünüz. Hər kənarda dörd top var. Hər üz on kürədən ibarət üçbucaqdır. Problem müstəqil olaraq qoyulur: 0-dan 9-a qədər rəqəmləri şəbəkənin dairələrinə qoymaq olarmı ki, bərk cismi yapışdırdıqdan sonra hər bir divar bütün nömrələri ehtiva etsin (belə gəlir ki, təkrarlanmadan). Əvvəllər olduğu kimi, bu işdə ən böyük çətinlik torun möhkəm bir cismə necə çevrilməsidir. Mən bunu yazılı şəkildə izah edə bilmərəm, ona görə də burada həllini demirəm.

4. Stolüstü tennis toplarından iki ikosahedr. Fərqli rəng sxeminə diqqət yetirin.

artıq Platon (və o, eramızdan əvvəl XNUMX-XNUMX-cü əsrlərdə yaşamışdır) bütün müntəzəm çoxüzlüləri bilirdi: tetraedr, kub, oktaedr, dodekaedr i ikosaedr. Onun ora necə çatması heyrətamizdir - nə qələm, nə kağız, nə qələm, nə kitab, nə smartfon, nə də internet! Mən burada dodekahedron haqqında danışmayacağam. Ancaq ikosahedral sudoku maraqlıdır. Biz bu topağı görürük illüstrasiya 4və onun şəbəkəsi şəkil 5.

5. İkosaedrin müntəzəm şəbəkəsi.

Əvvəlki kimi, bu, məktəbdən xatırladığımız (?!) mənada bir şəbəkə deyil, toplardan (toplardan) üçbucaq yapışdırmaq üsuludur.

2 tapşırıq. Belə bir ikosahedr qurmaq üçün neçə top lazımdır? Aşağıdakı mülahizə hələ də doğrudurmu: hər üz üçbucaq olduğundan, 20 üz olmalıdırsa, 60-a qədər kürə lazımdır?

6. Kürələrdən ikosahedrin torları. Hər bir dairə, məsələn, stolüstü tennis topudur, lakin eyni rənglə işarələnmiş dairələr üzərində dairələrin qurulması birinə birləşir. Beləliklə, on iki kürəmiz var (= on iki təpə: qırmızı, mavi, bənövşəyi, mavi və səkkiz sarı).

İkosaedrdə üç rəqəmin kifayət etmədiyini görmək asandır. Daha doğrusu: təpələri 1, 2, 3 rəqəmləri ilə sadalamaq mümkün deyil ki, hər (üçbucaqlı) üzdə bu üç rəqəm olsun və təkrarlar olmasın. Dörd rəqəmlə mümkündürmü? Bəli mümkündür! Gəlin baxaq düyü. 6 və 7.

7. İkosaedri təşkil edən kürələri necə nömrələmək olar ki, hər üzdə 1, 2, 3, 4-dən başqa rəqəmlər olsun. Şek. 4 belə rəngdədir?

3 tapşırıq. Dörd rəqəmdən üçünü dörd yolla seçmək olar: 123, 124, 134, 234. Şek. dəki ikosahedrdə beş belə üçbucağı tapın. 7 (həmçinin illüstrasiyalar bir).

4 işi (çox yaxşı məkan təxəyyülü tələb edir). İkosaedrin on iki təpəsi var, yəni onu on iki topdan yapışdırmaq olar (şək. 7). Qeyd edək ki, 1 ilə işarələnmiş üç təpə (=top), 2 ilə üç və s. Beləliklə, eyni rəngli toplar üçbucaq əmələ gətirir. Bu üçbucaq nədir? Bəlkə bərabərtərəfli? Yenidən bax illüstrasiyalar bir.

Baba / nənə və nəvə / nəvə üçün növbəti tapşırıq. Valideynlər də nəhayət öz əllərini sınaya bilərlər, lakin onlara səbr və vaxt lazımdır.

5 tapşırıq. On iki (tercihen 24) stolüstü tennis topu, dörd rəngli boya, fırça və düzgün yapışqan alın - Superglue və ya Droplet kimi sürətli olanları məsləhət görmürəm, çünki onlar çox tez quruyur və uşaqlar üçün təhlükəlidir. İkosaedron üzərində yapışqan. Nəvənizə dərhal sonra yuyulacaq (və ya atılacaq) köynək geyindirin. Masanı folqa ilə örtün (tercihen qəzetlərlə). Şəkildə göstərildiyi kimi ikosahedronu dörd rənglə 1, 2, 3, 4 ilə diqqətlə rəngləyin. şək. 7. Sifarişi dəyişə bilərsiniz - əvvəlcə şarları rəngləyin və sonra onları yapışdırın. Eyni zamanda, boyanın boyaya yapışmaması üçün kiçik dairələr boyanmadan buraxılmalıdır.

İndi ən çətin vəzifə (daha doğrusu, onların bütün ardıcıllığı).

6 işi (Daha dəqiq desək, ümumi mövzu). İkosaedronu tetraedr və oktaedr kimi təsvir edin düyü. 2 və 3 Bu o deməkdir ki, hər kənarda dörd top olmalıdır. Bu variantda iş həm vaxt aparır, həm də baha başa gəlir. Nə qədər topa ehtiyacınız olduğunu tapmaqla başlayaq. Hər üzün on sferası var, deməli, ikosahedronun iki yüzə ehtiyacı var? Yox! Bir çox topun paylaşıldığını xatırlamalıyıq. İkosaedrin neçə kənarı var? Bunu zəhmətlə hesablamaq olar, amma Eyler düsturu nə üçündür?

w–k+s=2

burada w, k, s müvafiq olaraq təpələrin, kənarların və üzlərin sayıdır. Biz xatırlayırıq ki, w = 12, s = 20, k = 30 deməkdir. Bizdə ikosahedrin 30 kənarı var. Bunu fərqli şəkildə edə bilərsiniz, çünki 20 üçbucaq varsa, onların yalnız 60 kənarı var, lakin onlardan ikisi ümumidir.

Gəlin sizə neçə top lazım olduğunu hesablayaq. Hər üçbucaqda yalnız bir daxili top var - nə bədənimizin yuxarı hissəsində, nə də kənarında. Beləliklə, cəmi 20 belə topumuz var. 12 zirvə var. Hər bir kənarda iki vertex olmayan top var (onlar kənarın içərisindədir, lakin üzün içərisində deyil). 30 kənar olduğu üçün 60 mərmər var, lakin onlardan ikisi ortaqdır, yəni yalnız 30 mərmər lazımdır, deməli, cəmi 20 + 12 + 30 = 62 mərmər lazımdır. Topları ən azı 50 qəpiyə (adətən daha bahalı) almaq olar. Yapışqanın qiymətini əlavə etsəniz, çıxacaq ... çox. Yaxşı yapışma bir neçə saatlıq əziyyətli iş tələb edir. Birlikdə onlar rahat bir əyləncə üçün uyğundur - məsələn, televizora baxmaq əvəzinə onları tövsiyə edirəm.

Geri çəkilmə 1. Andrzej Wajdanın "İllər, Günlər" film seriyasında iki kişi "axşam yeməyinə qədər vaxt keçirməli olduqları üçün" şahmat oynayır. Qalisiya Krakovda baş verir. Doğrudan da: qəzetlər artıq oxunub (onda onların 4 səhifəsi var idi), televizor və telefon hələ icad olunmayıb, futbol matçları yoxdur. Gölməçələrdə cansıxıcılıq. Belə bir vəziyyətdə insanlar özləri üçün əyləncələr tapdılar. Bu gün pultu basdıqdan sonra bizdə var ...

Geri çəkilmə 2. Riyaziyyat Müəllimləri Assosiasiyasının 2019-cu il toplantısında ispaniyalı professor bərk divarları istənilən rəngə boyaya bilən kompüter proqramını nümayiş etdirib. Bir az ürpertici idi, çünki onlar yalnız əlləri çəkirdilər, demək olar ki, bədəni kəsdilər. Öz-özümə düşündüm: belə bir “kölgələnmədən” nə qədər əylənmək olar? Hər şey iki dəqiqə çəkir və dördüncü dəqiqədə heç nə xatırlamırıq. Bu arada, köhnə dəbdə olan "iynə işləri" sakitləşdirir və tərbiyə edir. Kim inanmır, qoy çalışsın.

XNUMX əsrə və reallıqlarımıza qayıdaq. Topların zəhmətli yapışdırılması şəklində istirahət istəmiriksə, ən azı kənarlarında dörd top olan bir ikosahedronun bir şəbəkəsini çəkəcəyik. Bunu necə etmək olar? Düzgün doğrayın şəkil 6. Diqqətli oxucu problemi artıq təxmin edir:

7 tapşırıq. Topları 0-dan 9-a qədər rəqəmlərlə sadalamaq olarmı ki, bütün bu rəqəmlər belə bir ikosahedrin hər üzündə görünsün?

Biz nəyə görə maaş alırıq?

Bu gün biz özümüzə tez-tez fəaliyyətimizin məqsədi ilə bağlı sual veririk və “boz vergi ödəyicisi” soruşacaq ki, niyə belə tapmacaları həll etmək üçün riyaziyyatçılara pul verməlidir?

Cavab olduqca sadədir. Özlüyündə maraqlı olan bu cür “pazllar” “daha ​​ciddi bir şeyin parçasıdır”. Axı, hərbi paradlar çətin xidmətin yalnız xarici, möhtəşəm hissəsidir. Sadəcə bir misal çəkəcəyəm, amma qəribə, lakin beynəlxalq səviyyədə tanınan bir riyaziyyat fənni ilə başlayacağam. 1852-ci ildə bir ingilis tələbəsi professorundan soruşdu ki, qonşu ölkələr həmişə müxtəlif rənglərdə göstərilsin deyə dörd rənglə xəritəni rəngləndirmək mümkündürmü? Əlavə edim ki, biz ABŞ-ın Vayominq və Yuta ştatları kimi yalnız bir nöqtədə görüşənləri “qonşu” hesab etmirik. Professor bilmirdi... və problem yüz ildən artıqdır ki, öz həllini gözləyirdi.

8. RECO bloklarından ikosahedr. Flaş reflektorları ikosahedrin üçbucaq və beşbucaqlı ilə ortaq cəhətlərini göstərir. Hər təpədə beş üçbucaq birləşir.

Bu, gözlənilməz bir şəkildə baş verdi. 1976-cı ildə bir qrup amerikalı riyaziyyatçı bu problemi həll etmək üçün proqram yazdı (və onlar qərar verdilər: bəli, dörd rəng həmişə kifayət edəcək). Bu, "riyazi maşın"ın köməyi ilə əldə edilən riyazi faktın ilk sübutu idi - kompüter yarım əsr əvvəl (və hətta əvvəllər: "elektron beyin") adlandırıldığı kimi.

Budur xüsusi olaraq göstərilən “Avropa xəritəsi” (şək. 9). Ortaq sərhədi olan ölkələr bağlıdır. Xəritənin rənglənməsi bu qrafikin (qrafik adlanır) dairələrinin rənglənməsi ilə eynidir ki, heç bir bağlı dairə eyni rəngdə olmasın. Lixtenşteyn, Belçika, Fransa və Almaniyaya nəzər saldıqda üç rəngin kifayət etmədiyini görürük. İstəyirsən, Oxucu, onu dörd rənglə rəngləndir.

9. Avropada kimlər kiminlə həmsərhəddir?

Yaxşı, bəli, amma vergi ödəyicilərinin puluna dəyərmi? Beləliklə, eyni qrafikə bir az fərqli baxaq. Unutmayın ki, dövlətlər və sərhədlər var. Dairələr bir nöqtədən digərinə (məsələn, P-dən EST-ə) göndəriləcək məlumat paketlərini simvollaşdırsın və seqmentlər hər birinin öz bant genişliyinə malik olan mümkün əlaqələri təmsil etsin. Mümkün qədər tez göndərin?

Əvvəlcə çox sadələşdirilmiş, həm də çox maraqlı bir vəziyyətə riyazi baxımdan baxaq. Biz S nöqtəsindən (= başlanğıc kimi) M nöqtəsinə (= bitirmə) eyni bant genişliyinə malik bir əlaqə şəbəkəsindən istifadə edərək bir şey göndərməliyik, deyək ki, 1. Bunu bizdə görürük. şək. 10.

10. Statsyika Zdrój-dan Meqapolisə qoşulma şəbəkəsi.

Təsəvvür edək ki, S-dən M-ə təxminən 89 bit məlumat göndərilməlidir. Bu sözlərin müəllifi qatarlarla bağlı problemləri xoşlayır, ona görə də o, Stacie Zdrojda menecer olduğunu, oradan 144 vaqon göndərməli olduğunu təsəvvür edir. metropolis stansiyasına. Niyə məhz 144? Çünki, görəcəyimiz kimi, bu, bütün şəbəkənin ötürmə qabiliyyətini hesablamaq üçün istifadə olunacaq. Tutum hər lotda 1-dir, yəni. vaxt vahidi başına bir avtomobil keçə bilər (bir məlumat biti, bəlkə də Gigabayt).

Gəlin əmin edək ki, bütün avtomobillər M-də eyni vaxtda görüşür. Hər kəs ora 89 vaxt vahidinə çatır. Göndərmək üçün S-dən M-ə qədər çox vacib bir məlumat paketim varsa, onu 144 vahiddən ibarət qruplara bölürəm və yuxarıdakı kimi itələyirəm. Riyaziyyat bunun ən sürətli olacağına zəmanət verir. Mən hardan bildim ki, sənə 89 lazımdır? Əslində təxmin etdim, amma təxmin etməsəm, bunu anlamalı olardım Kirchhoff tənlikləri (kimsə xatırlayır? - bunlar cərəyan axını təsvir edən tənliklərdir). Şəbəkə ötürmə qabiliyyəti 184/89 təşkil edir ki, bu da təxminən 1,62-yə bərabərdir.

Sevinc haqqında

Yeri gəlmişkən, 144 nömrəsini bəyənirəm. Bu nömrə ilə Varşavanın Qala Meydanına - onun yanında heç bir bərpa edilmiş Kral Qalası olmayanda avtobusa minməyi xoşlayırdım. Ola bilsin ki, gənc oxucular onların nə olduğunu bilirlər. Bu, 12 nüsxədir, lakin yalnız yaşlı oxucular xatırlayır ki, onlarla, yəni. 122=144, bu, püşk deyilən şeydir. Riyaziyyatı məktəb proqramından bir az artıq bilən hər kəs bunu dərhal anlayacaq şək. 10 bizdə Fibonaççi nömrələri var və şəbəkə bant genişliyi "qızıl nömrə"yə yaxındır

Fibonaççi ardıcıllığında 144 mükəmməl kvadrat olan yeganə ədəddir. Yüz qırx dörd həm də “sevincli rəqəmdir”. Hindistanlı həvəskar riyaziyyatçı belədir Dattatreya Ramachandra Kaprekar 1955-ci ildə o, onları təşkil edən rəqəmlərin cəminə bölünən ədədləri adlandırdı:

Bilsəydi Adam Miscavige, o, şübhəsiz ki, Dzyady-də yox yazacaqdı: “Qərib anadan; onun qanı onun köhnə qəhrəmanlarıdır / Adı qırx dörddür, yalnız daha zərifdir: Və onun adı yüz qırx dörddür.

Əyləncəyə ciddi yanaşın

Ümid edirəm ki, oxucuları əmin etdim ki, Sudoku bulmacaları şübhəsiz ki, ciddi qəbul olunmağa layiq olan sualların əyləncəli tərəfidir. Bu mövzunu daha da inkişaf etdirə bilmərəm. Oh, təqdim olunan diaqramdan tam şəbəkə bant genişliyinin hesablanması şək. 9 tənliklər sisteminin yazılması iki və ya daha çox saat - bəlkə də hətta onlarla saniyə (!) kompüter işi aparardı.