Rəngli kvadratlar və günəş tutulmaları
Məqalədə mənim orta məktəb şagirdləri - Milli Uşaq Fondunun təqaüdçüləri üçün dərslərim təsvir olunur. Fond xüsusilə istedadlı uşaq və gəncləri (ibtidai məktəbin XNUMX-cü sinfindən tutmuş orta məktəbə qədər) axtarır və seçilmiş tələbələrə “təqaüdlər” təklif edir. Bununla belə, onlar ümumiyyətlə nağd pul çıxarmaqdan ibarət deyil, bir qayda olaraq, uzun illər ərzində istedadın inkişafına hərtərəfli qayğı göstərməkdən ibarətdir. Bu tipli bir çox digər layihələrdən fərqli olaraq, tanınmış elm, mədəniyyət xadimləri, görkəmli humanistlər və digər müdrik insanlar, bəzi siyasətçilər Fondun palatalarına ciddi yanaşırlar.
Fondun fəaliyyəti idman, o cümlədən incəsənət istisna olmaqla, əsas məktəb fənləri olan bütün fənləri əhatə edir. Fond 1983-cü ildə o vaxtkı reallığa qarşı antidot kimi yaradılmışdır. Hər kəs fonda müraciət edə bilər (adətən məktəb vasitəsilə, daha yaxşı tədris ilinin sonuna qədər), lakin təbii ki, müəyyən bir ələk, müəyyən bir ixtisas proseduru var.
Artıq qeyd etdiyim kimi, məqalə mənim ustad dərslərim əsasında, konkret olaraq Qdynia şəhərində, 2016-cı ilin mart ayında III tam orta məktəbdə 24 saylı tam orta məktəbdə keçib. Dəniz. Uzun illərdir ki, bu seminarlar Fondun himayəsi altında qeyri-adi xarizma və yüksək intellektual səviyyəli müəllim Voyciech Thomalczyk tərəfindən təşkil olunur. 2008-ci ildə o, Polşada pedaqogika professoru adına layiq görülən ilk onluğa daxil oldu (bir çox illər əvvəl qanunla nəzərdə tutulmuşdu). “Təhsil dünyanın oxudur” ifadəsində bir qədər şişirtmə var.
və ay həmişə valehedicidir - onda hiss edə bilərsiniz ki, biz nəhəng bir məkanda kiçik bir planetdə yaşayırıq, burada hər şey hərəkətdədir, santimetr və saniyələrlə ölçülür. Hətta məni bir az qorxudur, həm də zaman perspektivi. Öyrəndik ki, bugünkü Varşava ərazisindən görünən növbəti tam tutulma ... 2681-ci ildə olacaq. Maraqlıdır, bunu kim görəcək? Səmamızda Günəş və Ayın görünən ölçüləri demək olar ki, eynidir - buna görə də tutulmalar bu qədər qısa və möhtəşəm olur. Əsrlər boyu bu qısa dəqiqələr astronomların günəş tacını görmək üçün kifayət etməlidir. Qəribədir ki, onlar ildə iki dəfə baş verir... lakin bu, yalnız Yer kürəsinin hansısa bir yerində onları qısa müddət ərzində görmək deməkdir. Dalğalı hərəkətlər nəticəsində Ay Yerdən uzaqlaşır - 260 milyon ildən sonra o qədər uzaqlaşacaq ki, biz (biz???) ancaq həlqəvi tutulmaları görəcəyik.
Görünür, ilk proqnozlaşdıran tutulması, Miletli Thales (e.ə. 28-585-ci əsrlər) idi. Yəqin ki, bunun həqiqətən olub-olmadığını, yəni onun proqnoz verib-vermədiyini bilməyəcəyik, çünki Kiçik Asiyada tutulmanın eramızdan əvvəl 567-ci ilin 566-cı ilində baş verməsi müasir hesablamalarla təsdiqlənən faktdır. Təbii ki, mən bugünkü zaman hesabı üçün məlumat verirəm. Mən uşaq olanda insanların illəri necə hesabladığını təsəvvür edirdim. Beləliklə, məsələn, eramızdan əvvəl XNUMX, Yeni il gecəsi gəlir və insanlar sevinir: yalnız eramızdan əvvəl XNUMX il! Nəhayət, “bizim dövrümüz” gələndə onlar necə də xoşbəxt idilər! Bir neçə il əvvəl yaşadığımız minilliklərin necə dönüşü!
Tarixlərin və diapazonların hesablanması riyaziyyatı tutulması, xüsusilə mürəkkəb deyil, nizamlılıqla və daha da pisi, orbitlərdə bədənin qeyri-bərabər hərəkəti ilə əlaqəli hər cür amillərlə doludur. Mən hətta bu riyaziyyatı bilmək istərdim. Miletli Thales lazımi hesablamaları necə edə bilərdi? Cavab sadədir. Sənin səma xəritəsi olmalıdır. Belə bir xəritə necə hazırlanır? Bu da çətin deyil, qədim misirlilər bunu necə edəcəyini bilirdilər. Gecə yarısı iki kahin məbədin damına çıxır. Onların hər biri oturub gördüyünü (həmkarı kimi) çəkir. İki min ildən sonra biz planetlərin hərəkəti haqqında hər şeyi bilirik...
Gözəl həndəsə və ya "xalçada" əyləncə
Yunanlar rəqəmləri sevmirdilər, həndəsəyə müraciət edirdilər. Bizim edəcəyimiz budur. Bizim tutulması onlar sadə, rəngarəng, lakin bir o qədər maraqlı və real olacaqlar. Biz mavi fiqurun qırmızı olanı tutacaq şəkildə hərəkət etməsi konvensiyasını qəbul edirik. Mavi fiqura ay, qırmızı fiqura isə günəş deyək. Özümüzə aşağıdakı sualları veririk:
- tutulma nə qədər davam edir;
- hədəfin yarısı əhatə olunduqda;
düyü. 1 Günəş və ay olan çoxrəngli “xalça”
- maksimum əhatə dairəsi nədir;
- qalxan örtüyünün vaxtından asılılığını təhlil etmək mümkündürmü? Bu yazıda (mən mətnin miqdarı ilə məhdudlaşıram) ikinci suala diqqət yetirəcəyəm. Bunun arxasında bəlkə də cansıxıcı hesablamalar olmadan gözəl bir həndəsə var. Əncirə baxaq. 1. Onun ... günəş tutulması ilə əlaqəli olacağını güman etmək olarmı?
Düzünü deməliyəm ki, müzakirə edəcəyim tapşırıqlar xüsusi seçiləcək, orta və yuxarı sinif şagirdlərinin bilik və bacarıqlarına uyğunlaşdırılacaq. Amma biz musiqiçilərin tərəzi çalması, idmançıların isə ümumi inkişaf etdirmə hərəkətləri kimi tapşırıqlar üzərində məşq edirik. Bundan əlavə, sadəcə gözəl bir xalça deyilmi (şək. 1)?
düyü. 2 "Mavi" Ay və "Qırmızı" Günəş
Göy cisimlərimiz, heç olmasa, ilkin olaraq rəngli kvadratlar olacaq. Ay mavi, günəş qırmızıdır (rəng üçün ən yaxşısı). indiki ilə tutulması Ay günəşi səmada təqib edir, yetişir ... və onu bağlayır. Bizdə də belə olacaq. Ən sadə hal, Şəkildə göstərildiyi kimi Ayın Günəşə nisbətən hərəkət etməsi. 2. Tutulma Ay diskinin kənarı Günəş diskinin kənarına toxunduqda başlayır (şək. 2) və ondan kənara çıxdıqda bitir.
düyü. 3 Ay günəşə diaqonal olaraq yaxınlaşır
Biz güman edirik ki, "Ay" hər bir zaman vahidində, məsələn, dəqiqədə bir hüceyrə hərəkət edir. Daha sonra tutulma səkkiz vaxt vahidi, məsələn, dəqiqə davam edir. Yarım günəş tutulmaları tamamilə qaraldı Siferblatın yarısı iki dəfə bağlanır: 2 və 6 dəqiqədən sonra. Faizdə qaranlıqlaşma qrafiki sadədir. İlk iki dəqiqə ərzində qalxan sıfırdan 1-ə qədər bərabər şəkildə bağlanır, sonrakı iki dəqiqədə isə eyni sürətlə ifşa olunur.
Budur daha maraqlı bir nümunə (şək. 3). Ay günəşə diaqonal olaraq yaxınlaşır. Dəqiqəlik ödəniş müqaviləmizə görə, tutulma 8√ davam edir2 dəqiqə - bu vaxtın ortasında tam tutulmamız var. t vaxtından sonra günəşin hansı hissəsinin örtüldüyünü hesablayaq (şək. 3). Əgər tutulmanın başlanğıcından t dəqiqə keçibsə və nəticədə Ay şəkildə göstərildiyi kimi olarsa. 5, onda (diqqət!) Buna görə də örtülmüşdür (APQR kvadratının sahəsi), günəş diskinin yarısına bərabərdir; buna görə də, o zaman örtülmüşdür, yəni. 4 dəqiqədən sonra (sonra tutulmanın bitməsinə 4 dəqiqə qalmış).
düyü. 4 "Kölgələmə" funksiyasının qrafiki
Ümumilik bir an davam edir (t = 4√2), “kölgələnmiş hissə” funksiyasının qrafiki isə iki parabola qövsündən ibarətdir (şək. 4).
Mavi ayımız qırmızı günəşlə küncə toxunacaq, ancaq onu örtəcək, diaqonal deyil, bir az diaqonal olaraq gedəcək.Hərəkəti bir az çətinləşdirəndə maraqlı həndəsə yaranır (şək. 6). Hərəkət istiqaməti indi vektordur [4,3], yəni "dörd hüceyrə sağa, üç hüceyrə yuxarı". Günəşin mövqeyi elədir ki, tutulma "səma cisimlərinin" tərəfləri uzunluğunun dörddə birinə yaxınlaşdıqda başlayır (A mövqeyi). Ay B mövqeyinə keçəndə Günəşin altıda birini, C mövqeyində isə yarısını tutacaq. D mövqeyində bizdə tam tutulma var və sonra hər şey “olduğu kimi” geri qayıdır.
düyü. 5 Günəşin bir hissəsi t zamanında gizlənir
Ay G mövqeyində olduqda tutulma başa çatır. Nə qədər davam etdi bölmə uzunluğu AG. Əgər əvvəlki kimi zaman vahidi kimi Ayın “bir kvadrat” keçdiyi vaxtı götürsək, onda AG-nin uzunluğu bərabərdir. Əgər göy cisimlərimizin 4-dən 4-ə bərabər olduğu köhnə konvensiyaya qayıtsaq, nəticə fərqli olardı (nə?). Göstərmək asan olduğu üçün hədəf t < 15-dən sonra bağlanır. “Ekranın əhatə dairəsinin faizi” funksiyasının qrafiki şək. 6.
düyü. 6 "faiz qoruma" funksiyasının qrafiki
Tutulma və tullanma tənliyi
düyü. 7 Şəkildə göstərilən tutulma zamanı günəş diskinin maneə törədilməsi. 6
Əgər dairələr məsələsini nəzərdən keçirməsək, tutulma problemi natamam olardı. Bu, daha mürəkkəbdir, lakin gəlin bir dairənin digərinin yarısını tutduğu zaman - və ən sadə halda, onlardan biri hər ikisini birləşdirən diametr boyunca hərəkət etdikdə anlamağa çalışaq. Rəsm bəzi kredit kartı sahiblərinə tanışdır.
Sahələrin mövqeyinin hesablanması mürəkkəbdir, çünki bu, birincisi, dairəvi seqmentin sahəsinin düsturunu bilmək, ikincisi, bucağın qövsünü bilmək və üçüncüsü (və ən pisi) bacarığı tələb edir. müəyyən atlama tənliyini həll etmək. “Keçidli tənliyin” nə olduğunu izah etməyəcəm, bir misala baxaq (şək. 8).
düyü. 8 "Sferik" tutulma
Dairəvi bölmə düz bir xətt ilə bir dairəni kəsdikdən sonra qalan "qab"dır. Belə bir seqmentin sahəsi S = 1/2r-dir2(φ-sinφ), burada r çevrənin radiusu, φ isə seqmentin dayandığı mərkəzi bucaqdır (şək. 8). Bu, dairəvi sektorun sahəsindən üçbucağın sahəsini çıxarmaqla asanlıqla əldə edilir.
Epizod O1O2 (dairələrin mərkəzləri arasındakı məsafə) onda 2rcosφ/2, hündürlük (en, “bel xətti”) h = 2rsinφ/2-ə bərabərdir. Beləliklə, Ayın günəş diskinin yarısını nə vaxt əhatə edəcəyini hesablamaq istəyiriksə, tənliyi həll etməliyik: sadələşdirildikdən sonra bu olur:
düyü. 9 İki funksiyanın qrafiki
Belə tənliklərin həlli sadə cəbrdən kənara çıxır - tənlik həm bucaqları, həm də onların triqonometrik funksiyalarını ehtiva edir. Tənlik ənənəvi metodların imkanlarından kənardadır. Buna görə də adlanır tullanmaq. Əvvəlcə hər iki funksiyanın, yəni funksiyaların və funksiyaların qrafiklərinə baxaq.Bu rəqəmdən təxmini həlli oxuya bilərik. Bununla belə, biz iterativ təxmini əldə edə bilərik və ya… Excel cədvəlində Həlledici seçimindən istifadə edə bilərik. Hər bir orta məktəb şagirdi bunu bacarmalıdır, çünki 20-ci əsrdir. Mən daha təkmil Mathematica alətindən istifadə etdim və burada lazımsız dəqiqliyin XNUMX onluq yerləri ilə həllimiz var:
SetPrecision[FindRoot[x==Sin[x]+Pi/2,{x,2}],20] {x⇒2.3098814600100574523}.
düyü. 10 Matematikada tutulmanın animasiyası
Bunu 180/π ilə vuraraq dərəcəyə çeviririk. 132 dərəcə, 20 dəqiqə, 45 və qövs saniyəsinin dörddə birini alırıq. Dairənin mərkəzinə olan məsafənin O olduğunu hesablayırıq1O2 = 0,808 radius, və "bel" 2,310.
