əks cazibə

Təkcə riyaziyyatda deyil, “əkslərin cazibəsi” haqqında çox danışılır. Unutmayın ki, əks ədədlər yalnız işarəsi ilə fərqlənənlərdir: üstəgəl 7 və mənfi 7. Qarşılıqlı ədədlərin cəmi sıfırdır. Amma bizim üçün (yəni, riyaziyyatçılar) qarşılıqlar daha maraqlıdır. Əgər ədədlərin hasili 1-ə bərabərdirsə, bu ədədlər bir-birinə tərsdir. Hər bir ədədin əksi, sıfırdan fərqli hər bir ədədin əksi var. Qarşılıqlının qarşılığı toxumdur.

İnversiya iki kəmiyyətin bir-biri ilə əlaqəli olduğu yerdə baş verir ki, biri artarsa, digəri müvafiq sürətlə azalır. “Müvafiq” bu kəmiyyətlərin hasilinin dəyişməməsi deməkdir. Məktəbdən xatırlayırıq: bu tərs nisbətdir. Təyinatıma iki dəfə tez çatmaq (yəni vaxtı yarıya endirmək) istəyirsinizsə, sürətimi ikiqat artırmalıyam. Əgər qaz olan möhürlənmiş qabın həcmi n dəfə azalarsa, onun təzyiqi n dəfə artacaqdır.

İbtidai təhsildə biz diferensial və nisbi müqayisələri diqqətlə fərqləndiririk. "Daha nə qədər"? - "Neçə dəfə çox?"

Burada bəzi məktəb fəaliyyətləri var:

1 tapşırıq. İki müsbət dəyərdən birincisi ikincidən 5 dəfə, eyni zamanda birincidən 5 dəfə böyükdür. Ölçüləri nədir?

2 tapşırıq. Bir ədəd ikincidən 3, ikincisi üçüncüdən 2 böyükdürsə, birinci ədəd üçüncüdən nə qədər böyükdür? Birinci müsbət ədəd ikincidən iki dəfə, birinci ədəd üçdə üçdürsə, birinci ədəd üçüncüdən neçə dəfə böyükdür?

3 tapşırıq. 2-ci tapşırıqda yalnız natural ədədlərə icazə verilir. Orada təsvir edilən belə bir tənzimləmə mümkündürmü?

4 tapşırıq. İki müsbət dəyərdən birincisi ikincinin 5 qatını, ikincisi isə birincinin 5 qatını təşkil edir. Bu mümkündür?

“Orta” və ya “orta” anlayışı çox sadə görünür. Bazar ertəsi 55 km, çərşənbə axşamı 45 km, çərşənbə günü 80 km velosiped sürsəm, gündə orta hesabla 60 km velosiped sürmüşəm. Bir gündə 60 km qət etmədiyim üçün bir az qəribə olsa da, bu hesablamalarla ürəkdən razıyıq. Biz bir adamın paylaşımlarını asanlıqla qəbul edirik: altı gün ərzində bir restorana iki yüz adam baş çəkirsə, o zaman orta gündəlik tarif 33 və üçüncü adamdır. HM!

Yalnız orta ölçüdə problemlər var. Mən velosiped sürməyi xoşlayıram. Ona görə də mən səyahət agentliyinin “Bizimlə gedək” təklifindən yararlandım – baqajı otelə çatdırırlar, burada müştəri istirahət məqsədilə velosiped sürür. Cümə günü dörd saat sürdüm: ilk ikisi saatda 24 km sürətlə. Sonra o qədər yoruldum ki, növbəti iki saatda cəmi 16 sürət. Orta sürətim nə qədər idi? Əlbəttə (24+16)/2=20km=20km/saat.

Şənbə günü isə baqaj oteldə qaldı və mən 24 km aralıda olan qalanın xarabalıqlarına baxmağa getdim və onları görüb qayıtdım. Bir saat bir istiqamətdə sürdüm, daha yavaş, saatda 16 km sürətlə geri döndüm. Otel-qala-otel marşrutu üzrə orta sürətim nə qədər idi? Saatda 20 km? Əlbəttə yox. Axı mən cəmi 48 km sürdüm və bir saat (“orada”) və bir saat yarım geriyə getdim. İki saat yarımda 48 km, yəni. saat 48/2,5=192/10=19,2 km! Bu vəziyyətdə orta sürət arifmetik orta deyil, verilmiş dəyərlərin harmonikidir:

və bu iki mərtəbəli düsturu belə oxumaq olar: müsbət ədədlərin harmonik ortası onların qarşılıqlı arifmetik ortasının əksidir. Qarşılıqlıların cəminin qarşılıqlılığı məktəb tapşırıqlarının bir çox xorlarında görünür: bir işçi saat qazırsa, digəri - b saat, sonra birlikdə işləyərək vaxtında qazırlar. su hovuzu (biri saatda, digəri b saatda). Bir rezistorda R1, digərində isə R2 varsa, o zaman onlar paralel müqavimətə malikdirlər. 

Bir kompüter bir problemi saniyəyə, başqa bir kompüter b saniyəyə həll edə bilirsə, o zaman birlikdə işləyərkən...

Dayan! Bənzətmə burada sona çatır, çünki hər şey şəbəkənin sürətindən asılıdır: əlaqələrin səmərəliliyindən. İşçilər də bir-birinə mane ola və ya kömək edə bilər. Bir adam səkkiz saatda quyu qaza bilirsə, səksən fəhlə bunu saatın 1/10-da (və ya 6 dəqiqə) edə bilərmi? Əgər altı hambal pianonu 6 dəqiqəyə birinci mərtəbəyə aparırsa, onlardan birinin pianonu altmışıncı mərtəbəyə çatdırması nə qədər vaxt aparacaq? Bu cür problemlərin absurdluğu bütün riyaziyyatın "həyatdan" problemlərə məhdud tətbiqini xatırladır.

Güclü satıcı haqqında 

Tərəzilər artıq istifadə edilmir. Yada salaq ki, belə tərəzilərin bir qabına çəki qoyulur, çəkilən mallar isə digərinə qoyulur və çəki tarazlıqda olduqda, malın çəkisi çəki qədər olur. Əlbəttə ki, çəki yükünün hər iki qolu eyni uzunluqda olmalıdır, əks halda çəki səhv olacaq.

Doğrudur. Qeyri-bərabər leverage ilə çəkisi olan bir satış işçisini təsəvvür edin. Bununla belə, o, müştərilərlə dürüst olmaq istəyir və malı iki partiyaya çəkir. Əvvəlcə bir tavaya çəki, digərinə isə müvafiq miqdarda mal qoyur - tərəzi tarazlıqda olsun. Sonra malın ikinci “yarım”ını tərs qaydada çəkir, yəni çəkisini ikinci qaba, malı isə birincinin üzərinə qoyur. Əllər qeyri-bərabər olduğundan, "yarımlar" heç vaxt bərabər deyil. Satıcının isə vicdanı təmizdir və alıcılar onun dürüstlüyünü tərifləyirlər: “Buradan nə çıxardım, sonra da əlavə etdim”.

Bununla belə, qeyri-müəyyən çəkiyə baxmayaraq dürüst olmaq istəyən bir satıcının davranışına daha yaxından nəzər salaq. Qoy tarazlığın qolları a və b uzunluqlarına malik olsun. Əgər qablardan birinə kiloqram çəki, digərinə isə x mal yüklənirsə, birinci dəfə ax = b, ikinci dəfə isə bx = a olarsa, tərəzi tarazlıqdadır. Beləliklə, malların birinci hissəsi b / kiloqrama, ikinci hissəsi a / b-ə bərabərdir. Yaxşı çəki a = b var, buna görə alıcı 2 kq mal alacaq. a ≠ b olduqda nə baş verdiyini görək. Sonra a – b ≠ 0 və azaldılmış vurma düsturundan əldə edirik

Gözlənilməz bir nəticəyə gəldik: bu vəziyyətdə ölçmənin "orta hesabla" görünən ədalətli üsulu daha çox mal alan alıcının xeyrinə işləyir.

5 işi. (Əhəmiyyətli, heç bir halda riyaziyyatda!). Bir ağcaqanadın çəkisi 2,5 milliqram, filin isə beş ton ağırlığındadır (bu, olduqca düzgün məlumatdır). Ağcaqanad və fil kütlələrinin (çəkilərin) arifmetik ortasını, həndəsi ortasını və harmonik ortasını hesablayın. Hesablamaları yoxlayın və hesab məşqlərindən başqa onların mənası olub-olmadığını yoxlayın. Gəlin “real həyatda” mənası olmayan riyazi hesablamaların digər nümunələrinə baxaq. İpucu: Bu məqalədə artıq bir nümunəyə baxdıq. Bu o deməkdirmi ki, internetdə fikrini tapdığım anonim tələbə doğru idi: “Riyaziyyat insanları rəqəmlərlə aldadır”?

Bəli, mən razıyam ki, riyaziyyatın əzəmətində insanları “aldatmaq” olar - hər ikinci şampun reklamında onun tüklülüyü müəyyən faiz artırdığı deyilir. Cinayət fəaliyyəti üçün istifadə edilə bilən faydalı gündəlik alətlərin başqa nümunələrini axtaraqmı?

Qram!

Bu parçanın adı isim deyil (bir kiloqramın mində birinin nominativ cəmi) feildir (birinci şəxs cəm). Harmoniya nizam və musiqini nəzərdə tutur. Qədim yunanlar üçün musiqi bir elm sahəsi idi – etiraf etmək lazımdır ki, əgər belə desək, “elm” sözünün indiki mənasını bizdən əvvəlki dövrə köçürmüş oluruq. Pifaqor eramızdan əvvəl XNUMX əsrdə yaşayıb.O, nəinki kompüteri, mobil telefonu və e-poçtu bilmirdi, hətta Robert Levandovski, Mieszko I, Charlemagne və Cicero-nun kim olduğunu da bilmirdi. O, nə ərəb, nə də hətta Roma rəqəmlərini bilmirdi (bunlar eramızdan əvvəl XNUMX-ci əsrdə istifadəyə verilib), Pun müharibələrinin nə olduğunu bilmirdi ... Amma musiqini bilirdi ...

O bilirdi ki, simli alətlərdə titrəmə əmsalları simlərin titrəyici hissələrinin uzunluğuna tərs mütənasibdir. Bilirdi, bilirdi, sadəcə bunu bizim bu gün etdiyimiz şəkildə ifadə edə bilməzdi.

Oktavanı təşkil edən iki simli vibrasiyanın tezlikləri 1:2 nisbətindədir, yəni daha yüksək notun tezliyi aşağı notun tezliyindən iki dəfə çoxdur. Beşinci üçün düzgün vibrasiya nisbəti 2:3, dördüncü 3:4, təmiz əsas üçüncü 4:5, kiçik üçüncü 5:6-dır. Bunlar xoş samit intervallarıdır. Sonra iki neytral, vibrasiya nisbətləri 6:7 və 7:8, sonra dissonant olanlar var - böyük ton (8:9), kiçik bir ton (9:10). Bu kəsrlər (nisbətlər) riyaziyyatçıların (məhz bu səbəbdən) harmonik sıra adlandırdıqları ardıcıllığın ardıcıl üzvlərinin nisbətlərinə bənzəyir:

nəzəri cəhətdən sonsuz cəmidir. Oktavanın salınımlarının nisbəti 2:4 kimi yazıla bilər və onların arasına beşinci qoymaq olar: 2:3:4, yəni oktavanı beşinci və dördüncü hissəyə böləcəyik. Buna riyaziyyatda harmonik seqment bölgüsü deyilir:

düyü. 1. Musiqiçi üçün: AB oktavanın beşinci AC-yə bölünməsi.Riyaziyyatçı üçün: Harmonik Seqmentasiya

Harmonik sıra kimi nəzəri cəhətdən sonsuz bir cəmdən (yuxarıda) danışanda nə demək istəyirəm? Belə çıxır ki, belə bir məbləğ istənilən böyük rəqəm ola bilər, əsas odur ki, biz uzun müddət əlavə edirik. Daha az və daha az tərkib hissəsi var, lakin onların sayı getdikcə daha çoxdur. Nə üstünlük təşkil edir? Burada riyazi analiz sahəsinə daxil oluruq. Məlum olub ki, maddələr tükənir, lakin çox tez deyil. Göstərəcəyəm ki, kifayət qədər inqrediyent götürərək yekunlaşdıra bilərəm:

özbaşına böyük. “Məsələn” n = 1024 götürək. Sözləri şəkildə göstərildiyi kimi qruplaşdıraq:

Hər bir mötərizədə hər bir söz əvvəlkindən böyükdür, əlbəttə ki, özünə bərabər olan sonuncu söz istisna olmaqla. Aşağıdakı mötərizədə 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 və 512 komponentlərimiz var; hər mötərizədəki cəmin dəyəri ½-dən böyükdür. Bütün bunlar 5½-dən çoxdur. Daha dəqiq hesablamalar bu məbləğin təxminən 7,50918 olduğunu göstərəcək. Çox deyil, amma həmişə və siz görə bilərsiniz ki, n hər hansı bir böyük götürməklə, istənilən rəqəmi üstələyə bilərəm. Bu inanılmaz dərəcədə yavaş (məsələn, biz yalnız inqrediyentlərlə onluğa daxil oluruq), lakin sonsuz artım həmişə riyaziyyatçıları valeh edib.

Harmonik seriya ilə sonsuzluğa səyahət

Burada kifayət qədər ciddi riyaziyyat üçün tapmaca var. Ölçüləri, deyək ki, 4 × 2 × 1 olan düzbucaqlı blokların (nə deyə bilərəm, düzbucaqlı!) qeyri-məhdud tədarükü var. şək. 2 - dörd) bloklar, birincisi uzunluğunun ½ hissəsi, ikincisi yuxarıdan ¼ və s., üçüncüsü isə altıda bir qədər meylli olsun. Yaxşı, bəlkə onu həqiqətən sabit etmək üçün ilk kərpici bir az daha az əyək. Hesablamalar üçün fərq etməz.

düyü. 2. Ağırlıq mərkəzinin müəyyən edilməsi

Onu da başa düşmək asandır ki, ilk iki blokdan ibarət olan fiqur (yuxarıdan hesablanır) B nöqtəsində simmetriya mərkəzinə malik olduğundan, B-nin ağırlıq mərkəzidir. Üç yuxarı blokdan ibarət sistemin ağırlıq mərkəzini həndəsi olaraq təyin edək. Burada çox sadə bir arqument kifayətdir. Üç bloklu kompozisiyanı zehni olaraq iki yuxarıya və üçüncü aşağıya bölmək. Bu mərkəz iki hissənin ağırlıq mərkəzlərini birləşdirən hissədə yatmalıdır. Bu epizod hansı nöqtədə?

Təyin etməyin iki yolu var. Birincidə, bu mərkəzin üç bloklu piramidanın ortasında, yəni ikinci, orta blokla kəsişən düz xətt üzərində olması lazım olduğu müşahidəsindən istifadə edəcəyik. İkinci şəkildə, başa düşürük ki, iki üst blokun ümumi kütləsi №3 blokdan (yuxarıda) iki dəfə çox olduğundan, bu hissədəki ağırlıq mərkəzi mərkəzə olduğundan iki dəfə B-yə yaxın olmalıdır. Üçüncü blokun S. Eynilə, növbəti nöqtəni tapırıq: üç blokun tapılan mərkəzini dördüncü blokun mərkəzi S ilə birləşdiririk. Bütün sistemin mərkəzi 2 hündürlükdə və seqmenti 1-dən 3-ə bölən nöqtədədir (yəni uzunluğunun ¾ hissəsi).

Bir az daha aparacağımız hesablamalar Şəkildə göstərilən nəticəyə gətirib çıxarır. şəkil 3. Ardıcıl ağırlıq mərkəzləri aşağı blokun sağ kənarından çıxarılır:

Beləliklə, piramidanın ağırlıq mərkəzinin proyeksiyası həmişə baza daxilində olur. Qüllə aşmayacaq. İndi baxaq şək. 3 və bir anlıq, yuxarıdan beşinci bloku əsas kimi istifadə edək (daha parlaq rənglə qeyd olunan). Üst meyl:

beləliklə, onun sol kənarı bazanın sağ kənarından 1 uzaqdadır. Budur növbəti yelləncək:

Ən böyük yelləncək nədir? Artıq bilirik! Ən böyük yoxdur! Ən kiçik blokları belə götürməklə, bir kilometrlik kənara çıxa bilərsiniz - təəssüf ki, yalnız riyazi olaraq: bütün Yer kürəsi bu qədər blok tikmək üçün kifayət etməyəcək!

düyü. 3. Daha çox blok əlavə edin

İndi yuxarıda buraxdığımız hesablamalar. Bütün məsafələri x oxunda "üfüqi" olaraq hesablayacağıq, çünki bunun üçün hər şey var. A nöqtəsi (birinci blokun ağırlıq mərkəzi) sağ kənardan 1/2-dir. B nöqtəsi (iki blok sisteminin mərkəzi) ikinci blokun sağ kənarından 1/4 məsafədədir. Başlanğıc nöqtəsi ikinci blokun sonu olsun (indi üçüncü bloka keçəcəyik). Məsələn, №3 tək blokun ağırlıq mərkəzi haradadır? Bu blokun uzunluğunun yarısı, buna görə də istinad nöqtəmizdən 1/2 + 1/4 = 3/4-dür. C nöqtəsi haradadır? 3/4 və 1/4 arasındakı seqmentin üçdə ikisində, yəni əvvəlki nöqtədə, istinad nöqtəsini üçüncü blokun sağ kənarına dəyişdiririk. Üç bloklu sistemin ağırlıq mərkəzi indi yeni istinad nöqtəsindən çıxarılır və s. Ağırlıq mərkəzi C_n n blokdan ibarət qüllə əsas blokun sağ kənarı olan ani istinad nöqtəsindən, yəni yuxarıdan n-ci blokdan 1/2n uzaqdadır.

Qarşılıqlı silsilələr bir-birindən ayrıldığından istənilən böyük variasiya əldə edə bilərik. Bu, həqiqətən həyata keçirilə bilərmi? Bu, ucsuz-bucaqsız kərpic qüllə kimidir - gec-tez öz ağırlığı altında çökəcək. Bizim sxemimizdə blokların yerləşdirilməsində minimal qeyri-dəqiqliklər (və seriyanın qismən məbləğlərinin yavaş artması) çox uzağa getməyəcəyimiz deməkdir.