Həndəsi yollar və çalılar
Bu yazını yazarkən yadıma Yan Pietrzakın Polşa Xalq Respublikasında qoruyucu klapan kimi tanınan Pod Egidą kabaresində satirik fəaliyyətindən əvvəl oxuduğu çox köhnə bir mahnı düşdü; sistemin paradokslarına səmimi gülmək olardı. Müəllif bu mahnıda sosialist siyasi iştirakını tövsiyə edib, siyasətdən uzaqlaşmaq istəyənləri ələ salıb qəzetdə radionu söndürüb. "Məktəb oxumağa qayıtmaq daha yaxşıdır" deyə o zamankı XNUMX yaşlı Petşak istehza ilə oxudu.
Mən məktəbə oxumağa qayıdıram. Şepan Yelenskinin (1881-1949) “Lylavati” kitabını yenidən oxuyuram (ilk dəfə deyil). Bir neçə oxucu üçün sözün özü nəsə deyir. Bu, Bhaskara (1114-1185) kimi tanınan məşhur hindu riyaziyyatçısının Akaria adlı qızının və ya cəbrə dair kitabını bu adla adlandıran müdrikin adıdır. Lilavati sonralar özü də tanınmış riyaziyyatçı və filosof oldu. Digər mənbələrə görə, kitabı özü yazıb.
Şepan Yelenski riyaziyyata dair kitabına da eyni adı vermişdi (birinci nəşr, 1926). Bu kitabı riyazi əsər adlandırmaq belə çətin ola bilər - bu, daha çox tapmacalar toplusu idi və əsasən fransız mənbələrindən yenidən yazılmışdır (müasir mənada müəllif hüquqları mövcud deyildi). Hər halda, uzun illər bu, riyaziyyat üzrə yeganə məşhur Polşa kitabı idi - sonradan ona Jelenskinin ikinci kitabı olan Pifaqorun şirniyyatı əlavə edildi. Beləliklə, riyaziyyatla maraqlanan gənclərin (bir vaxtlar olduğu kimi idi) seçim etmək üçün heç bir şey yox idi ...
digər tərəfdən, “Lilavati”ni demək olar ki, əzbər tanımaq lazım idi... Ah, vaxtlar olub... Onların ən böyük üstünlüyü o idi ki, mən... o vaxt yeniyetmə idim. Mən bu gün savadlı bir riyaziyyatçının nöqteyi-nəzərindən Lilavatiyə tamam başqa cür baxıram - bəlkə də Şpiqlasova Pşelençə gedən yolun döngələrində bir alpinist kimi. Nə biri cazibəsini itirmir, nə də o biri... Özünə xas üslubunda, şəxsi həyatında milli ideyalar deyilənləri dilə gətirən Şepan Yelenski ön sözdə yazır:
Milli xüsusiyyətlərin təsvirinə toxunmadan deyim ki, doxsan il keçsə də, Yelenskinin riyaziyyatla bağlı dedikləri aktuallığını itirməyib. Riyaziyyat sizə düşünməyi öyrədir. Bu bir faktdır. Biz sizə fərqli, daha sadə və gözəl düşünməyi öyrədə bilərikmi? Ola bilər. Sadəcə... biz hələ də bacarmırıq. Riyaziyyatla məşğul olmaq istəməyən tələbələrimə izah edirəm ki, bu, həm də onların intellektinin yoxlanışıdır. Əgər həqiqətən sadə riyaziyyat nəzəriyyəsini öyrənə bilmirsinizsə, o zaman... bəlkə sizin zehni qabiliyyətləriniz hər ikimizin istədiyindən də pisdir...?
Qumda işarələr
Və budur, "Lylavati"dəki ilk hekayə - fransız filosofu Cozef de Maistrenin (1753-1821) təsvir etdiyi hekayə.
Qəzaya uğramış gəmidən çıxan dənizçini yaşayış olmayan hesab etdiyi boş sahilə dalğalar atıblar. Birdən sahil qumunda kiminsə qarşısında çəkilmiş həndəsi fiqurun izini gördü. Məhz o zaman anladı ki, ada boş deyil!
Yelenski de Mestridən sitat gətirərək yazır: həndəsi fiqurbu bədbəxt, qəzaya uğrayan, təsadüf üçün lal ifadə olardı, lakin o, bir baxışda ona nisbət və rəqəm göstərdi və bu, maariflənmiş bir insandan xəbər verdi. Tarix üçün bu qədər.
Qeyd edək ki, dənizçi eyni reaksiyaya səbəb olacaq, məsələn, K hərfi, ... və bir insanın varlığının hər hansı digər izlərini çəkərək. Burada həndəsə ideallaşdırılmışdır.
Lakin astronom Kamil Flammarion (1847-1925) həndəsədən istifadə edərək sivilizasiyaların bir-birini uzaqdan salamlamasını təklif etdi. O, bunda yeganə düzgün və mümkün ünsiyyət cəhdini görürdü. Gəlin belə Marslılara Pifaqor üçbucaqlarını göstərək... onlar bizə Thaleslə cavab verəcəklər, biz onlara Vyeta naxışları ilə cavab verəcəyik, onların dairəsi üçbucağa sığacaq, ona görə dostluq başladı...
Jül Vern və Stanislav Lem kimi yazıçılar bu fikrə qayıtdılar. Və 1972-ci ildə hələ də kosmosun genişliklərini keçən Pioneer zondunun göyərtəsində həndəsi (və təkcə deyil) naxışlı plitələr yerləşdirildi, indi bizdən təxminən 140 astronomik vahid (1 I Yerin Yerdən orta məsafəsidir) . Günəş, yəni təxminən 149 milyon km). Kafel, qismən, yerdənkənar sivilizasiyaların sayı ilə bağlı mübahisəli qaydanın yaradıcısı olan astronom Frank Drake tərəfindən hazırlanmışdır.
Həndəsə heyrətamizdir. Bu elmin mənşəyi ilə bağlı ümumi baxış bucağı hamımıza məlumdur. Biz (biz insanlar) ən faydalı məqsədlər üçün torpağı (və daha sonra torpağı) ölçməyə yenicə başlamışıq. Məsafələrin müəyyən edilməsi, düz xətlərin çəkilməsi, düz bucaqların qeyd edilməsi və həcmlərin hesablanması tədricən zərurətə çevrildi. Beləliklə, hər şey həndəsə (“Yerin ölçülməsi”), buna görə də bütün riyaziyyat ...
Lakin bir müddət elm tarixinin bu aydın mənzərəsi bizi buludlandırdı. Çünki riyaziyyat yalnız əməliyyat məqsədləri üçün lazım olsaydı, biz sadə teoremləri sübut etməklə məşğul olmazdıq. Bir neçə düzbucaqlı üçbucaqda hipotenuzların kvadratlarının cəminin hipotenuzanın kvadratına bərabər olduğunu yoxladıqdan sonra “Görürsünüz ki, bu, ümumiyyətlə, doğru olmalıdır” deyərsiniz. Niyə belə formalizm?
Gavalı piroqu dadlı olmalı, kompüter proqramı işləməli, maşın işləməlidir. Əgər lülənin tutumunu otuz dəfə saymışamsa və hər şey qaydasındadırsa, onda niyə başqa?
Bu arada, qədim yunanların ağlına gəldi ki, bəzi rəsmi sübutlar tapmaq lazımdır.
Deməli, riyaziyyat Thalesdən (e.ə. 625-547) başlayır. Ehtimal olunur ki, bunun səbəbini düşünməyə başlayan Milet idi. Ağıllı insanlara nəyisə görmələri, nəyəsə əmin olmaları kifayət etmir. Onlar sübuta ehtiyac olduğunu, fərziyyədən tezisə arqumentlərin məntiqi ardıcıllığını görürdülər.
Onlar da daha çox istəyirdilər. Fiziki hadisələri ilk dəfə ilahi müdaxilə olmadan təbii yolla izah etməyə çalışan yəqin ki, Thales idi. Avropa fəlsəfəsi təbiət fəlsəfəsindən - artıq fizikanın arxasında olandan (buna görə də adı: metafizika) başladı. Amma Avropa ontologiyasının və təbiət fəlsəfəsinin əsasları pifaqorçular tərəfindən qoyulmuşdur (Pifaqor, e.ə. 580-c. 500).
O, Apennin yarımadasının cənubundakı Krotone şəhərində öz məktəbini qurdu - bu gün biz buna sekta deyərdik. Elm (sözün indiki mənasında), mistisizm, din və fantaziya hamısı bir-biri ilə sıx bağlıdır. Tomas Mann “Doktor Faust” romanında alman gimnaziyasında riyaziyyat dərslərini çox gözəl təqdim etmişdir. Mariya Kuretskaya və Vitold Virpşa tərəfindən tərcümə olunan bu fraqmentdə deyilir:
Çarlz van Dorenin “Tarixin şəfəqindən bu günə qədər bilik tarixi” adlı maraqlı kitabında mən çox maraqlı bir fikir tapdım. Fəsillərin birində müəllif Pifaqor məktəbinin əhəmiyyətini təsvir edir. Fəslin başlığı məni heyran etdi. Orada deyilir: "Riyaziyyatın ixtirası: Pifaqorçular".
Biz tez-tez riyazi nəzəriyyələrin kəşf edildiyini (məsələn, naməlum torpaqlar) və ya icad edildiyini (məsələn, əvvəllər mövcud olmayan maşınlar) müzakirə edirik. Bəzi yaradıcı riyaziyyatçılar özlərini tədqiqatçılar, digərləri ixtiraçılar və ya dizaynerlər, daha az tez-tez sayğaclar kimi görürlər.
Amma bu kitabın müəllifi ümumilikdə riyaziyyatın ixtirasından yazır.
Mübaliğədən aldanmaya qədər
Bu uzun giriş hissəsindən sonra ən başlanğıca keçəcəyəm. həndəsəhəndəsəyə həddən artıq güvənməyin bir alimi necə çaşdıra biləcəyini təsvir etmək. Yohannes Kepler fizika və astronomiyada göy cisimlərinin üç hərəkət qanununun kəşfçisi kimi tanınır. Birincisi, Günəş sistemindəki hər bir planet ocaqlarından birində günəş olan elliptik orbitdə Günəş ətrafında hərəkət edir. İkincisi, planetin Günəşdən çəkilmiş aparıcı şüası müntəzəm olaraq bərabər sahələr çəkir. Üçüncüsü, bir planetin Günəş ətrafında fırlanma dövrünün kvadratının onun orbitinin yarım böyük oxunun kubuna nisbəti (yəni Günəşdən orta məsafə) Günəş sistemindəki bütün planetlər üçün sabitdir.
Bəlkə də bu, üçüncü qanun idi - onu qurmaq üçün çoxlu məlumat və hesablamalar tələb olunurdu ki, bu da Kepleri planetlərin hərəkətində və mövqeyində nümunələr axtarmağa davam etməyə sövq edirdi. Onun yeni “kəşfinin” tarixi çox ibrətamizdir. Qədim dövrlərdən bəri biz təkcə müntəzəm çoxüzlülərə deyil, həm də kosmosda onlardan yalnız beşinin olduğunu göstərən arqumentlərə heyran olmuşuq. Üzləri eyni müntəzəm çoxbucaqlıdırsa və hər təpənin eyni sayda kənarları varsa, üçölçülü polihedron müntəzəm adlanır. Nümunəvi olaraq, müntəzəm çoxbucaqlının hər küncü "eyni görünməlidir". Ən məşhur çoxüzlü kubdur. Hər kəs adi bir topuq görüb.
Müntəzəm tetraedr daha az məlumdur və məktəbdə ona müntəzəm üçbucaqlı piramida deyilir. Piramidaya bənzəyir. Qalan üç müntəzəm polihedra daha az məlumdur. Kubun kənarlarının mərkəzlərini birləşdirəndə səkkizbucaqlı əmələ gəlir. Dodekaedr və ikosahedr artıq top kimi görünür. Yumşaq dəridən hazırlanmışdır, onlar qazmaq üçün rahat olardı. Beş Platonik bərk cisimdən başqa müntəzəm çoxüzlülərin olmadığına dair əsaslandırma çox yaxşıdır. Birincisi, biz başa düşürük ki, əgər cisim nizamlıdırsa, onda hər bir təpədə eyni sayda (q) eyni müntəzəm çoxbucaqlılar birləşməlidir, qoy bunlar p-bucaqları olsun. İndi müntəzəm çoxbucaqlıda bucağın nə olduğunu xatırlamalıyıq. Kimsə məktəbdən xatırlamırsa, düzgün nümunəni necə tapacağınızı xatırlayırıq. Küncdə gəzintiyə çıxdıq. Hər təpədə biz eyni açı ilə dönürük a. Çoxbucaqlı ətrafında dövrə vurub başlanğıc nöqtəsinə qayıtdıqda p belə dönmələr etdik və ümumilikdə 360 dərəcə dönmüş olduq.
Lakin α hesablamaq istədiyimiz bucağın 180 dərəcə tamamlayıcısıdır və buna görə də belədir
Biz nizamlı çoxbucaqlının bucağının (riyaziyyatçı deyərdi: bucağın ölçüləri) düsturunu tapdıq. Yoxlayaq: p = 3 üçbucağında a yoxdur
Bunun kimi. p = 4 (kvadrat) olduqda
dərəcələr də yaxşıdır.
Beşbucaq üçün nə alırıq? Beləliklə, hər p eyni bucaqlara malik q çoxbucaqlı olduqda nə baş verir
bir təpədə enən dərəcələr? Bir müstəvidə olsaydı, onda bir bucaq meydana gələrdi
dərəcə və 360 dərəcədən çox ola bilməz - çünki o zaman çoxbucaqlılar üst-üstə düşür.
Lakin bu çoxbucaqlılar fəzada birləşdiyi üçün bucaq tam bucaqdan kiçik olmalıdır.
Və burada hər şeyin gəldiyi bərabərsizlik var:
Onu 180-ə bölmək, hər iki hissəni p-yə vurmaq, sıralamaq (p-2) (q-2) < 4. Bundan sonra nə gəlir? Bilək ki, p və q natural ədədlər olmalıdır və p > 2 (niyə? Və p nədir?) və həmçinin q > 2. İki natural ədədin hasilini 4-dən kiçik etmək üçün çoxlu yollar yoxdur. onların hamısını cədvəl 1-də sadalayacağıq.
Mən cizgiləri yerləşdirmirəm, bu rəqəmləri hamı internetdə görə bilər... İnternetdə... Lirik ekskursiyadan imtina etməyəcəyəm - bəlkə də gənc oxucular üçün maraqlıdır. 1970-ci ildə bir seminarda çıxış etdim. Mövzu çətindi. Hazırlanmağa vaxtım az idi, axşamlar otururdum. Əsas məqalə yalnız oxunan yerdə idi. Yer rahat idi, iş mühiti ilə, yaxşı, yeddidə bağlandı. Sonra gəlin (indi həyat yoldaşım) özü mənim üçün bütün məqaləni yenidən yazmağı təklif etdi: təxminən onlarla çap səhifəsi. Mən onu köçürdüm (yox, tünd qələmlə yox, hətta qələmimiz də var idi), mühazirə uğurla keçdi. Bu gün artıq köhnə olan bu nəşri tapmağa çalışdım. Yalnız müəllifin adı yadımdadır... İnternetdə axtarışlar uzun sürdü... tam on beş dəqiqə. Bu barədə təbəssüm və bir az da yersiz təəssüf hissi ilə düşünürəm.
Qayıdırıq Keplera və həndəsə. Göründüyü kimi, Platon bütün dünyanı əhatə edən birləşdirici bir şeyə malik olmadığı üçün beşinci müntəzəm formanın mövcudluğunu proqnozlaşdırmışdır. Bəlkə də buna görə bir tələbəyə (Theajtet) onu axtarmağı tapşırdı. Necə idi, elə də oldu, onun əsasında dodekaedr kəşf edildi. Platonun bu münasibətini panteizm adlandırırıq. Nyutona qədər bütün elm adamları az və ya çox dərəcədə buna tab gətirdilər. Çox rasional olan XVIII əsrdən bəri onun təsiri kəskin şəkildə azaldı, baxmayaraq ki, hamımızın bu və ya digər şəkildə ona tabe olmağımızdan utanmamalıyıq.
Keplerin günəş sisteminin qurulması konsepsiyasında hər şey düzgün idi, eksperimental məlumatlar nəzəriyyə ilə üst-üstə düşürdü, nəzəriyyə məntiqi cəhətdən ardıcıl idi, çox gözəl idi ... lakin tamamilə yanlış idi. Onun dövründə yalnız altı planet məlum idi: Merkuri, Venera, Yer, Mars, Yupiter və Saturn. Niyə cəmi altı planet var? Kepler soruşdu. Bəs onların Günəşdən uzaqlığını hansı qanunauyğunluq müəyyən edir? O güman edirdi ki, hər şey bir-birinə bağlıdır, yəni həndəsə və kosmoqoniya bir-biri ilə sıx bağlıdır. Qədim yunanların yazılarından o, yalnız beş müntəzəm çoxüzlü olduğunu bilirdi. O, altı orbit arasında beş boşluq olduğunu gördü. Beləliklə, bəlkə bu boş yerlərin hər biri hansısa müntəzəm çoxüzlüyə uyğundur?
Bir neçə illik müşahidə və nəzəri işdən sonra o, 1596-cı ildə nəşr olunan "Mysterium Cosmographicum" kitabında təqdim etdiyi orbitlərin ölçülərini kifayət qədər dəqiq hesablayan aşağıdakı nəzəriyyəni yaratdı: Nəhəng bir kürə təsəvvür edin, diametri Merkurinin günəş ətrafında illik hərəkətində orbitinin diametrinə bərabərdir. Onda təsəvvür edin ki, bu sferanın üzərində nizamlı səkkizadlı, onun üzərində kürə, onun üzərində ikosahedr, onun üzərində yenə kürə, onun üzərində dodekaedr, onun üzərində başqa bir kürə, onun üzərində tetraedr, sonra yenə kürə, kub var. və nəhayət, bu kubda top təsvir edilmişdir.
Kepler belə nəticəyə gəldi ki, bu ardıcıl kürələrin diametrləri digər planetlərin orbitlərinin diametrləridir: Merkuri, Venera, Yer, Mars, Yupiter və Saturnun. Nəzəriyyə çox dəqiq görünürdü. Təəssüf ki, bu, eksperimental məlumatlar ilə üst-üstə düşdü. Riyazi nəzəriyyənin düzgünlüyünə onun eksperimental məlumatlar və ya müşahidə məlumatları ilə uyğunluğundan, xüsusən də "göydən götürülən" daha yaxşı sübut nədir? Mən bu hesablamaları cədvəl 2-də ümumiləşdirirəm. Bəs Kepler nə etdi? Çalışdım və nəticələnənə qədər, yəni konfiqurasiya (kürələrin sırası) və əldə edilən hesablamalar müşahidə məlumatları ilə üst-üstə düşənə qədər çalışdım. Budur müasir Kepler rəqəmləri və hesablamaları:
Nəzəriyyənin valehediciliyinə boyun əymək və emalatxananın sükutunda aparılan hesablamaların deyil, səmadakı ölçmələrin qeyri-dəqiq olduğuna inanmaq olar. Təəssüf ki, bu gün biz ən azı doqquz planetin olduğunu və nəticələrin bütün təsadüflərinin sadəcə bir təsadüf olduğunu bilirik. Təəssüf. O qədər gözəl idi ki...
