Riyaziyyatın qeyri-real dünyasına səyahət

Bu məqaləni kompüter elmləri kollecində mühazirə və təcrübədən sonra mühitlərdən birində yazdım. Bu məktəbin şagirdlərinin tənqidinə, onların biliyinə, elmə münasibətinə, ən əsası isə müəllimlik bacarıqlarına qarşı özümü müdafiə edirəm. Bu... onlara heç kim öyrətmir.

Mən niyə bu qədər müdafiəyəm? Sadə bir səbəbdən - mən elə bir yaşdayam ki, yəqin ki, bizi əhatə edən dünya hələ dərk olunmur. Bəlkə mən onlara maşın sürməyi yox, at qoşqu və qoşqu atmağı öyrədirəm? Bəlkə onlara tünd qələmlə yazmağı öyrədim? Bir insan haqqında daha yaxşı fikirdə olsam da, özümü “izləyən” hesab edirəm, amma...

Yaxın vaxtlara qədər orta məktəbdə mürəkkəb ədədlərdən danışırdılar. Və bu çərşənbə günü evə gəldim, işdən çıxdım - tələbələrin demək olar ki, heç biri hələ bunun nə olduğunu və bu nömrələrdən necə istifadə etməyi öyrənməyib. Bəziləri bütün riyaziyyata boyalı qapıdakı qaz kimi baxır. Amma onlar mənə necə öyrənməli olduğunu söyləyəndə həqiqətən təəccübləndim. Sadə dillə desək, mühazirənin hər saatı iki saatlıq ev tapşırığıdır: dərslik oxumaq, verilmiş mövzu üzrə məsələlərin həllini öyrənmək və s. Bu şəkildə hazırlaşaraq, hər şeyi təkmilləşdirdiyimiz məşqlərə gəlirik ... Xoşbəxtlikdən, tələbələr, görünür, mühazirədə oturmağın - ən çox pəncərədən baxmağın - artıq biliyin beyinə daxil olmasına zəmanət verdiyini düşünürdülər.

Dayan! Bu kifayətdir. Ölkənin hər yerindən istedadlı uşaqları dəstəkləyən Milli Uşaq Fondunun təqaüdçüləri ilə dərs zamanı aldığım suala cavabımı təsvir edəcəyəm. Sual (daha doğrusu təklif) belə idi:

- Bizə qeyri-real rəqəmlər haqqında nəsə deyə bilərsinizmi?

“Əlbəttə” deyə cavab verdim. 

Rəqəmlərin reallığı

Pifaqor deyirdi: "Dost başqa bir mən, dostluq 220 və 284 rəqəmlərinin nisbətidir". Burada məsələ ondan ibarətdir ki, 220 ədədinin bölənlərinin cəmi 284, 284 ədədinin bölənlərinin cəmi 220-dir:

1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220

1 + 2 + 4 + 5 + 10 = 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284. Yeri gəlmişkən, qeyd edirik ki, Bibliyada Yaqub dostluq əlaməti olaraq Esava 220 qoyun və qoç vermişdi (Yaradılış 32:14). ).

220 və 284 rəqəmləri arasında başqa bir maraqlı təsadüf belədir: on yeddi ən yüksək sadə ədəd 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, və 59.

Onların cəmi 2x220, kvadratların cəmi isə 59x284-dür.

Birinci. “Həqiqi rəqəm” anlayışı yoxdur. Sanki fillər haqqında məqaləni oxuyandan sonra “indi fil olmayanları soruşacağıq” deyə soruşursan. Tam və qeyri-bütöv, rasional və irrasional var, lakin qeyri-real yoxdur. Konkret olaraq: real olmayan nömrələr etibarsız adlandırılmır. Riyaziyyatda bir çox növ "rəqəmlər" var və onlar bir-birindən fərqlənir, məsələn - zooloji müqayisə aparsaq - fil və yer qurdu.

İkincisi, biz artıq qadağan olduğunu bildiyiniz əməliyyatları yerinə yetirəcəyik: mənfi ədədlərdən kvadrat köklər götürmək. Yaxşı, riyaziyyat belə maneələri dəf edəcək. Baxmayaraq ki, bunun mənası varmı? Hər bir elmdə olduğu kimi, riyaziyyatda da nəzəriyyənin əbədi olaraq biliyin anbarına daxil olub-olmaması... onun tətbiqindən asılıdır. Əgər faydasızdırsa, o zaman zibil qutusuna, sonra bilik tarixinin hansısa zibilliyinə düşür. Bu yazının sonunda bəhs etdiyim rəqəmlər olmadan riyaziyyatı inkişaf etdirmək mümkün deyil. Ancaq bəzi kiçik şeylərdən başlayaq. Həqiqi rəqəmlər nədir, bilirsiniz. Say xəttini sıx və boşluqsuz doldururlar. Siz natural ədədlərin nə olduğunu da bilirsiniz: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, …….. - bunların hamısı uyğun gəlməyəcək. hətta ən böyük yaddaş. Onların da gözəl adı var: təbii. Onların çox maraqlı xüsusiyyətləri var. Bunu necə bəyənirsiniz:

1 + 15 + 42 + 98 + 123 + 179 + 206 + 220 = 3 + 11 + 46 + 92 + 129 + 175 + 210 + 218

1² + 15² + 42² + 98² + 123² + 179² + 206² + 220² = 3² + 11² + 46² + 92² + 129² + 175² + 210² + 218²

1³ + 15³ + 42³ + 98³ + 123³ + 179³ + 206³ + 220³ = 3³ + 11³ + 46³ + 92³ + 129³ + 175³ + 210³ + 218³

1⁴ + 15⁴ + 42⁴ + 98⁴ + 123⁴ + 179⁴ + 206⁴ + 220⁴ = 3⁴ + 11⁴ + 46⁴ + 92⁴ + 129⁴ + 175⁴ + 210⁴ + 218⁴

1⁵ + 15⁵ + 42⁵ + 98⁵ + 123⁵ + 179⁵ + 206⁵ + 220⁵ = 3⁵ + 11⁵ + 46⁵ + 92⁵ + 129⁵ + 175⁵ + 210⁵ + 218⁵

1⁶ + 15⁶ + 42⁶ + 98³ + 123⁶ + 179⁶ + 206⁶ + 220⁶ = 3⁶ + 11⁶ + 46⁶ + 92⁶ + 129⁶ + 175⁶ + 210⁶ + 218⁶

1⁷ + 15⁷ + 42⁷ + 98³ + 123⁷ + 179⁷ + 206⁷ + 220⁷ = 3⁷ + 11⁷ + 46⁷ + 92⁷ + 129⁷ + 175⁷ + 210⁷ + 218⁷

“Natural ədədlərlə maraqlanmaq təbiidir” dedi Karl Lindenholm və Leopold Kroneker (1823–1891) bunu qısa şəkildə ifadə etdi: “Allah təbii ədədləri yaratdı, qalan hər şey insanın işidir!” Fraksiyalar (riyaziyyatçılar tərəfindən rasional ədədlər adlanır) da heyrətamiz xüsusiyyətlərə malikdir:

və bərabərliklə:

sol tərəfdən başlayaraq artıları ovuşdurub onları vurma işarələri ilə əvəz edə bilərsiniz - və bərabərlik doğru qalacaq:

Və s.

Bildiyiniz kimi, a və b tam ədədlər və b ≠ 0 olan a/b kəsrləri üçün deyirlər. rasional ədəd. Ancaq yalnız polyak dilində özlərini belə adlandırırlar. İngilis, fransız, alman və rus dilində danışırlar. rasional ədəd. İngilis dilində: rasional ədədlər. İrrasional ədədlər irrasionaldır, məntiqsizdir. Biz irrasional nəzəriyyələr, ideyalar və əməllər haqqında da polyak dilində danışırıq - bu dəlilikdir, xəyali, izaholunmazdır. Deyirlər ki, qadınlar siçanlardan qorxur - bu, o qədər də ağılsızlıq deyilmi?

Qədim dövrlərdə rəqəmlərin bir ruhu var idi. Hər biri nəyisə ifadə edirdi, hər biri nəyisə simvolizə edirdi, hər biri Kainatın o harmoniyasının bir zərrəsini, yəni yunanca Kosmosu əks etdirirdi. “Kosmos” sözünün özü də məhz “sifariş, nizam” deməkdir. Ən vacibləri altı (mükəmməl rəqəm) və on idi, simvolizmi bu günə qədər qalan digər rəqəmlərdən ibarət ardıcıl 1+2+3+4 ədədlərinin cəmi. Beləliklə, Pifaqor öyrətdi ki, rəqəmlər hər şeyin başlanğıcı və mənbəyidir və yalnız kəşfdir irrasional ədədlər Pifaqor hərəkatını həndəsəyə çevirdi. Bunun səbəbini məktəbdən bilirik

√2 irrasional ədəddir

Fərz edək ki, var: və bu kəsiri azaltmaq olmaz. Xüsusilə, həm p, həm də q təkdir. Gəlin kvadrat edək: 2q²=p². P rəqəmi tək ola bilməz, o vaxtdan p² həm də olardı və bərabərliyin sol tərəfi 2-nin qatıdır. Deməli, p cütdür, yəni p = 2r, deməli, p²= 4r². 2q tənliyini azaldırıq²= 4r² 2 ilə. Biz q alırıq²= 2r² və görürük ki, q da cüt olmalıdır, bizim fərz etdiyimiz belə deyil. Nəticədə ortaya çıxan ziddiyyət sübutu tamamlayır - bu düstur tez-tez hər riyaziyyat kitabında tapıla bilər. Bu şərti sübut sofistlərin sevimli hiyləsidir.

Bu hədsizliyi Pifaqorçular dərk edə bilmirdilər. Hər şeyi rəqəmlərlə təsvir etmək lazımdır və hər kəsin qum üzərində çubuqla çəkə biləcəyi kvadratın diaqonalının uzunluğu yoxdur, yəni ölçülə bilər. Pifaqorçular deyəsən, “İmanımız boşa çıxdı”. Necə? Bu, bir növ... məntiqsizdir. Birlik məzhəbçi üsullarla özünü xilas etməyə çalışdı. Varlığını ortaya qoymağa cəsarət edən hər kəs irrasional ədədlər, ölümlə cəzalandırılmalı idi və görünür, birinci hökmü ustad özü həyata keçirdi.

Amma “fikir sağ-salamat keçdi”. Qızıl dövr gəldi. Yunanlar farsları məğlub etdilər (Marafon 490, Blok 479). Demokratiya möhkəmləndi, yeni fəlsəfi fikir mərkəzləri, yeni məktəblər yarandı. Pifaqorçular hələ də irrasional rəqəmlərlə mübarizə aparırdılar. Bəziləri təbliğ edirdi: biz bu sirri dərk etməyəcəyik; biz yalnız Uncharted haqqında düşünə və heyran ola bilərik. Sonuncular daha praqmatik idilər və Sirrə hörmət etmirdilər. O zaman irrasional ədədləri başa düşməyə imkan verən iki zehni konstruksiya meydana çıxdı. Onları bu gün kifayət qədər yaxşı başa düşməyimiz Yevdoksa (e.ə. V əsr) aiddir və yalnız XNUMX-cu əsrin sonlarında alman riyaziyyatçısı Rixard Dedekind Yevdoks nəzəriyyəsini ciddi elmin tələblərinə uyğun olaraq düzgün inkişaf etdirmişdir. riyazi məntiq.

Fiqurların kütləsi və ya işgəncə

Rəqəmlərsiz yaşaya bilərdinizmi? Həyat nə olardısa belə... Əvvəllər ayağın uzunluğunu ölçdüyümüz çubuqla ayaqqabı almaq üçün mağazaya getməli olardıq. "Mən alma istərdim, ah, budur!" – bazarda satıcıları göstərərdik. Modlin şəhəri Nowy Dwur Mazowiecki şəhərindən hansı məsafədə yerləşir? "Yaxın!"

Nömrələr ölçmək üçün istifadə olunur. Onların köməyi ilə bir çox başqa anlayışları da ifadə edirik. Məsələn, xəritənin miqyası ölkənin ərazisinin nə qədər azaldığını göstərir. İkiyə bir şkala və ya sadəcə 2, bir şeyin ikiqat ölçüdə olduğunu ifadə edir. Riyazi olaraq deyək: hər bir homojenlik bir rəqəmə - onun miqyasına uyğun gəlir.

Vəzifə. Şəkli bir neçə dəfə böyüdərək kseroqrafik surət çıxardıq. Sonra böyüdülmüş fraqment yenidən b dəfə böyüdüldü. Ümumi böyütmə miqyası nədir? Cavab: a × b b ilə vurulur. Bu tərəziləri çoxaltmaq lazımdır. "Mənfi bir" sayı, -1, mərkəzləşdirilmiş, yəni 180 dərəcə fırlanan bir dəqiqliyə uyğundur. 90 dərəcə dönməyə hansı rəqəm uyğun gəlir? Belə bir rəqəm yoxdur. Odur, belədir... daha doğrusu, tezliklə olacaq. Mənəvi işgəncələrə hazırsınızmı? Cəsarət edin və mənfi birin kvadrat kökünü götürün. Mən qulaq asıram? Nə edə bilməzsən? Axı mən sənə cəsarətli ol dedim. Çıxarın! Hey, yaxşı, çək, çək... Kömək edəcəm... Budur: -1 İndi bizdə var, onu istifadə etməyə çalışaq... Əlbəttə, indi bütün mənfi ədədlərin köklərini çıxara bilərik, çünki misal.:

√-4 = 2√-1, √16- = 4√-1

"Psixi əziyyətdən asılı olmayaraq." Girolamo Kardanonun 1539-cu ildə yazdıqları budur, onunla əlaqəli zehni çətinlikləri aradan qaldırmağa çalışaraq - tezliklə adlandırılmağa başladı - xəyali kəmiyyətlər. Bunları düşündü...

...Vəzifə. 10-u iki hissəyə bölün, hasili 40. Yadımdadır ki, əvvəlki bölümdən belə bir şey yazmışdı: Əlbəttə, mümkün deyil. Bununla belə, bunu edək: 10-u iki bərabər hissəyə bölün, hər biri 5-ə bərabərdir. Onları çoxaldın - 25 çıxdı. Nəticədə çıxan 25-dən, indi istəsəniz, 40-ı çıxarın və -15 alırsınız. İndi baxın: 15-dən √-5 toplanan və çıxılan 40-ın hasilini verir. Bunlar 5-√-15 və 5 + √-15 rəqəmləridir. Nəticənin yoxlanılması Cardano tərəfindən aşağıdakı şəkildə həyata keçirilib:

“Ürək ağrısından asılı olmayaraq, 5 + √-15-i 5-√-15-ə vurun. 25 - (-15) alırıq ki, bu da 25 + 15-ə bərabərdir. Beləliklə, məhsul 40 ... olur. Bu, həqiqətən çətindir”.

Yaxşı, nə qədərdir: (1 + √-1) (1-√-1)? çoxaldaq. Unutmayın ki, √-1 × √-1 = -1. Əla. İndi daha çətin tapşırıq: a + b√-1-dən ab√-1-ə qədər. Nə olub? Şübhəsiz ki, belədir: (a + b√-1) (ab√-1) = a²+b²

Bunun nə maraqlıdır? Məsələn, "əvvəllər bilmədiyimiz" ifadələri faktorlara ayıra bildiyimiz faktı. üçün qısaldılmış vurma düsturu²-b² Düsturunu xatırlayırsınız²+b² deyildi, çünki ola bilməzdi. Həqiqi ədədlər sahəsində çoxhədli²+b² qaçılmazdır. “mənfi bir”in “bizim” kvadrat kökünü i hərfi ilə işarə edək.²= -1. Bu, "qeyri-real" sadə rəqəmdir. Təyyarənin 90 dərəcə dönməsini təsvir edən budur. Niyə? Hər şeydən sonra,²= -1 və bir 90 dərəcə fırlanma və digər 180 dərəcə fırlanma birləşməsi 45 dərəcə fırlanma verir. Hansı növ fırlanma təsvir olunur? Aydındır ki, XNUMX dərəcə dönüş. -i nə deməkdir? Bir az daha mürəkkəbdir:

(-I)² = -i × (-i) = +i² = -1

Beləliklə, -i də i-nin fırlanmasının əks istiqamətində 90 dərəcə fırlanmanı təsvir edir. Hansı solda, hansı sağda? Siz görüş təyin etməlisiniz. Güman edirik ki, i ədədi riyaziyyatçıların müsbət hesab etdiyi istiqamətdə fırlanmanı təyin edir: saat əqrəbinin əksinə. -i rəqəmi göstəricilərin hərəkət etdiyi istiqamətdə fırlanmanı təsvir edir.

Bəs i və -i kimi rəqəmlər mövcuddurmu? Var! Biz sadəcə onları canlandırdıq. Mən qulaq asıram? Onlar yalnız bizim başımızda var? Yaxşı, nə gözləmək olar? Bütün digər rəqəmlər də yalnız beynimizdə mövcuddur. Yeni doğulmuş saylarımızın sağ olub-olmadığını görməliyik. Daha doğrusu, dizaynın məntiqli olub-olmaması və onların nəyəsə faydalı olub-olmaması. Zəhmət olmasa, hər şeyin qaydasında olduğuna və bu yeni nömrələrin həqiqətən faydalı olduğuna dair sözümü qəbul edin. 3+i, 5-7i kimi ədədlər, daha ümumi: a+bi mürəkkəb ədədlər adlanır. Təyyarənin fırlanması ilə onları necə əldə edə biləcəyinizi sizə göstərdim. Onlar müxtəlif yollarla daxil edilə bilər: müstəvidəki nöqtələr kimi, bəzi çoxhədlilər kimi, bir növ ədədi massivlər kimi ... və hər dəfə eynidir: x tənliyi² +1=0 element yoxdur... hokus pokus artıq var!!!! Gəlin sevinək və sevinək!!!

Turun sonu

Bununla da saxta nömrələr ölkəsinə ilk turumuz yekunlaşır. Digər qeyri-adi nömrələrdən arxada deyil, qarşısında sonsuz sayda rəqəmi olanları da qeyd edəcəyəm (onlar 10-adic adlanır, bizim üçün p-adic daha vacibdir, burada p sadə ədəddir), çünki misal X = … … … 96109004106619977392256259918212890625

Zəhmət olmasa, X-i sayaq². Çünki? Bir ədədin kvadratını və ardınca sonsuz sayda rəqəmləri hesablasaq nə olar? Yaxşı, gəlin eyni şeyi edək. Biz bilirik ki, x² = X.

Qarşısında tənliyi təmin edən rəqəmləri sonsuz olan başqa belə bir ədəd tapaq. İpucu: altı ilə bitən ədədin kvadratı da altı ilə bitir. 76 ilə bitən ədədin kvadratı da 76 ilə bitir. 376 ilə bitən ədədin kvadratı da 376 ilə bitir. 9376 ilə bitən ədədin kvadratı da 9376 ilə bitir. Sonu XNUMX ilə bitən ədədin kvadratı XNUMX-də… Elə kiçik ədədlər də var ki, müsbət olduğu üçün digər müsbət ədədlərdən kiçik qalır. Onlar o qədər kiçikdirlər ki, bəzən sıfır almaq üçün onların kvadratına çəkmək kifayətdir. a × b = b × a şərtini ödəməyən ədədlər var. Sonsuz ədədlər də var. Neçə natural ədəd var? Sonsuz çox? Bəli, amma nə qədər? Bunu rəqəmlə necə ifadə etmək olar? Cavab: sonsuz ədədlərin ən kiçiyi; gözəl hərflə qeyd olunur: A və sıfır indeksi A ilə tamamlanır₀ , aleph-sıfır.

Varlığını bilmədiyimiz... və ya istədiyiniz kimi inanıb inkar edə biləcəyiniz rəqəmlər də var. Və buna bənzər şeylərdən danışarkən: Ümid edirəm ki, siz hələ də Qeyri-real Nömrələri, Fantaziya Növləri Nömrələrini bəyənirsiniz.