Mürəkkəb davranışlı sadə modellər, yəni xaos

Kompüter təbiət tərəfindən diqqətlə gizlədilən sirləri açmaq üçün elm adamları tərəfindən getdikcə daha çox istifadə edilən bir vasitədir. Modelləşdirmə eksperiment və nəzəriyyə ilə birlikdə dünyanı öyrənməyin üçüncü üsuluna çevrilir.

Üç il əvvəl Sileziya Universitetində biz kompüter metodlarının təhsilə inteqrasiyası üçün proqrama başladıq. Nəticədə, bir çox mövzuların öyrənilməsini asanlaşdıran və dərinləşdirən çoxlu son dərəcə maraqlı didaktik materiallar yaradılmışdır. Əsas alət kimi Python seçilmişdir ki, bu da mövcud elmi kitabxanaların gücü ilə birlikdə tənliklər, şəkillər və ya verilənlərlə "kompüter təcrübələri" üçün yəqin ki, ən yaxşı həll yoludur. Tam bir tezgahın ən maraqlı tətbiqlərindən biri Sage [2]. Bu, kompüter cəbri sisteminin Python dili ilə açıq inteqrasiyasıdır və eyni zamanda veb-brauzerdən və bulud xidməti [3] vasitəsilə mümkün giriş seçimlərindən birini istifadə edərək dərhal oynamağa başlamağa imkan verir. bu məqalənin versiyası [4] əsasında hazırlanmışdır.

Ekologiyada xaos

Oksford Universitetində 1-ci kurslarda avstraliyalı alim Robert Mey demoqrafik dinamikanın nəzəri aspektlərini öyrənmişdir. O, "Nature" jurnalında "Çox mürəkkəb dinamikaya malik sadə riyazi modellər" [XNUMX] adlı təxribatçı başlıq altında çıxan bir məqalədə işini yekunlaşdırdı. İllər keçdikcə bu məqalə nəzəri ekologiyada ən çox istinad edilən əsərlərdən birinə çevrildi. Bu işə belə maraq nədən yaranıb?

Populyasiya dinamikasının klassik problemi müəyyən bir növün indiki vəziyyətini nəzərə alaraq gələcək populyasiyasını hesablamaqdır. Riyazi olaraq ekosistemlər əhalinin bir nəslinin ömrünün bir mövsüm davam etdiyi ən sadə sistem hesab olunurdu. Yaxşı bir nümunə, kəpənəklər kimi bir mövsümdə tam metamorfoza məruz qalan böcəklərin populyasiyasıdır. Zaman təbii olaraq əhalinin həyat dövrlərinə uyğun gələn diskret dövrlərə2 bölünür. Beləliklə, belə bir ekosistemi təsvir edən tənliklər təbii olaraq sözdə olanlara malikdir diskret vaxt, yəni. t = 1,2,3…. Robert Mey başqa şeylər arasında belə dinamika ilə məşğul olurdu. Öz mülahizələrində o, ekosistemi əvvəlki ilin populyasiyasının kvadratik funksiyası olan bir növə qədər sadələşdirdi. Bu model haradan gəldi?

Populyasiyanın təkamülünü təsvir edən ən sadə diskret tənlik xətti modeldir:

burada Ni i-ci mövsümdə bolluqdur, Ni + 1 isə növbəti mövsümdə əhalini təsvir edir. Belə bir tənliyin üç ssenariyə səbəb ola biləcəyini görmək asandır. a = 1 olduqda, təkamül populyasiyanın ölçüsünü dəyişməyəcək və <1 məhvə gətirib çıxarır və a > 1 halı qeyri-məhdud əhali artımı deməkdir. Bu, təbiətdə balanssızlığa səbəb olacaq. Təbiətdəki hər şey məhdud olduğundan, məhdud miqdarda resursları nəzərə almaq üçün bu tənliyi düzəltmək məntiqlidir. Təsəvvür edin ki, zərərvericilər hər il eyni olan taxıl yeyirlər. Əgər həşəratlar çoxalda biləcəkləri qida miqdarı ilə müqayisədə azdırsa, riyazi olaraq a > 1 sabiti ilə təyin olunan tam reproduktiv gücdə çoxalda bilərlər. Lakin zərərvericilərin sayı artdıqca qida qıt olacaq və çoxalma qabiliyyəti azalacaq. Kritik bir vəziyyətdə təsəvvür etmək olar ki, o qədər çox həşərat doğulur ki, onlar çoxalmağa vaxt tapmadan bütün taxılları yeyirlər və əhali ölür. Qidaya məhdud çıxışın bu təsirini nəzərə alan model ilk dəfə 1838-ci ildə Verhulst tərəfindən təklif edilmişdir. Bu modeldə artım tempi sabit deyil, əhalinin vəziyyətindən asılıdır:

Artım sürəti a ilə Ni arasındakı əlaqə aşağıdakı xüsusiyyətə malik olmalıdır: əhali artarsa, qidaya çıxış çətin olduğundan artım tempi azalmalıdır. Təbii ki, bu xassə ilə çoxlu funksiyalar var: bunlar yuxarıdan aşağıya funksiyalardır. Verhulst aşağıdakı əlaqəni təklif etdi:

burada a>0 və sabit K>0 qida ehtiyatlarını xarakterizə edir və ətraf mühitin tutumu adlanır. K dəyişməsi əhalinin artım sürətinə necə təsir edir? K artarsa, Ni/K azalır. Bu da öz növbəsində 1-Ni/K-nın böyüməsinə gətirib çıxarır, yəni böyüyür. Bu o deməkdir ki, artım tempi artır və əhali daha sürətlə artır. Beləliklə, artım sürətinin (1) tənliyində olduğu kimi dəyişdiyini fərz etməklə əvvəlki modeli (3) dəyişdirək. Sonra tənliyi alırıq

Bu tənliyi rekursiv tənlik kimi yazmaq olar

burada xi = Ni / K və xi + 1 = Ni + 1 / K i zamanında və i + 1 zamanında dəyişdirilmiş populyasiyaları ifadə edir. (5) tənliyi logistik tənlik adlanır.

Belə görünə bilər ki, belə kiçik bir modifikasiya ilə modelimizi təhlil etmək asandır. Gəlin yoxlayaq. a = 5 parametri üçün (0.5) tənliyini ilkin əhali x0 = 0.45-dən başlayaraq nəzərdən keçirək. Ardıcıl əhali dəyərləri rekursiv tənlikdən (5) istifadə etməklə əldə edilə bilər:

x₁= balta₀(1-ci₀)

x₂= balta₁(1-ci₁)

x₃= balta₂(1-ci₂)

(6)-da hesablamaları asanlaşdırmaq üçün biz aşağıdakı proqramdan istifadə edə bilərik (o, Python-da yazılmışdır və başqa şeylərlə yanaşı, Sage platformasında işlədilə bilər. Kitabı oxumağınızı tövsiyə edirik http://icse.us.edu .pl/e-book . ), modelimizi təqlid edərək:

a = 0.5 x = 0.45 diapazondakı i üçün (10):      x \u1d a * x * (XNUMX-x)      çap x

Xi-nin ardıcıl dəyərlərini hesablayırıq və onların sıfıra meylli olduğunu görürük. Yuxarıdakı kodla təcrübə edərək, x0-ın ilkin dəyərindən asılı olmayaraq bunun doğru olduğunu görmək asandır. Bu o deməkdir ki, əhali daim ölür.

Təhlilin ikinci mərhələsində a parametrinin qiymətini ae (1,3) diapazonunda istənilən qiymətə yüksəldirik. Belə çıxır ki, o zaman xi ardıcıllığı müəyyən miqdarda x * > 0 olur. Bunu ekologiya baxımından şərh edərək deyə bilərik ki, populyasiyanın sayı mövsümdən fəsildə dəyişməyən müəyyən səviyyədə sabitlənir. . Qeyd etmək lazımdır ki, x * dəyəri ilkin x0 vəziyyətindən asılı deyil. Bu, ekosistemin sabitləşməyə can atmasının nəticəsidir - əhali öz ölçüsünü özünü qidalandırmaq qabiliyyətinə uyğunlaşdırır. Riyazi olaraq, sistemin sabit sabit nöqtəyə meylli olduğu deyilir, yəni. x = f(x) bərabərliyini təmin edən (bu o deməkdir ki, növbəti anda vəziyyət əvvəlki andakı kimidir). Sage ilə biz bu təkamülü zamanla populyasiyanın planını tərtib edərək qrafik olaraq görüntüləyə bilərik.

Belə bir sabitləşmə effekti tədqiqatçılar tərəfindən gözlənilən idi və sürpriz olmasaydı, logistik tənlik (5) çox diqqət çəkməzdi. Məlum oldu ki, parametrin müəyyən dəyərləri üçün model (5) gözlənilməz bir şəkildə davranır. Birincisi, dövri və multiperiodik vəziyyətlər var. İkincisi, hər zaman addımı ilə əhali təsadüfi bir hərəkət kimi qeyri-bərabər dəyişir. Üçüncüsü, ilkin şərtlərə böyük həssaslıq var: demək olar ki, fərqlənməyən iki ilkin vəziyyət tamamilə fərqli populyasiya təkamülünə səbəb olur. Bütün bu xüsusiyyətlər tamamilə təsadüfi bir hərəkətə bənzəyən və deterministik xaos adlanan davranış üçün xarakterikdir.

Gəlin bu mülkü araşdıraq!

Əvvəlcə a = 3.2 parametrinin qiymətini təyin edək və təkamülə baxaq. Təəccüblü görünə bilər ki, bu dəfə populyasiya bir deyil, hər ikinci mövsümdə ardıcıl olaraq baş verən iki dəyərə çatır. Lakin məlum olub ki, problemlər bununla da bitməyib. a = 4 ilə sistem artıq proqnozlaşdırıla bilməz. Gəlin rəqəmə (2) baxaq və ya kompüterdən istifadə edərək özümüz nömrələr ardıcıllığını yaradaq. Nəticələr tamamilə təsadüfi görünür və bir qədər fərqli başlanğıc populyasiyalar üçün tamamilə fərqli görünür. Bununla belə, diqqətli oxucu etiraz etməlidir. Deterministik tənlik1 ilə təsvir edilən bir sistem, hətta çox sadə bir sistem gözlənilməz şəkildə necə davrana bilər? Yaxşı, bəlkə.

Bu sistemin bir xüsusiyyəti onun ilkin şərtlərə diqqətəlayiq həssaslığıdır. Milyonda bir fərqlə iki ilkin şərtlə başlamaq kifayətdir və cəmi bir neçə addımda biz tamamilə fərqli əhali dəyərləri əldə edəcəyik. Kompüterdə yoxlayaq:

a = 4.0

x = 0.123 y = 0.123 + 0.000001 PCC = [] diapazondakı i üçün (25): x = a*x*(1-x) u = a * u * (1-u) çap x, y

Budur deterministik təkamülün sadə modeli. Amma bu determinizm aldadıcıdır, sadəcə riyazi determinizmdir. Praktik nöqteyi-nəzərdən sistem gözlənilməz davranır, çünki biz heç vaxt ilkin şərtləri riyazi olaraq dəqiq təyin edə bilmərik. Əslində, hər şey müəyyən dəqiqliklə müəyyən edilir: hər bir ölçü aləti müəyyən dəqiqliyə malikdir və bu, xaos xassəsinə malik olan deterministik sistemlərdə praktiki gözlənilməzliyə səbəb ola bilər. Buna misal olaraq həmişə xaos xüsusiyyəti nümayiş etdirən hava proqnozu modellərini göstərmək olar. Bu səbəbdən uzunmüddətli hava proqnozları çox pisdir.

Xaotik sistemlərin təhlili olduqca çətindir. Bununla belə, biz kompüter simulyasiyalarının köməyi ilə xaosun bir çox sirlərini çox asanlıqla həll edə bilərik. Absis oxu boyunca a parametrinin dəyərlərini və ordinat oxu boyunca logistik xəritələşdirmənin sabit sabit nöqtələrini yerləşdirdiyimiz sözdə bifurkasiya diaqramını çəkək. Çox sayda sistemi eyni vaxtda simulyasiya edərək və bir çox nümunə vaxtından sonra dəyərləri tərtib etməklə sabit xallar əldə edirik. Təxmin etdiyiniz kimi, bunun üçün çoxlu hesablamalar lazımdır. Gəlin aşağıdakı dəyərləri "diqqətlə" emal etməyə çalışaq:

np kimi idxal numpy Nx = 300 Bu = 500 х = məsələn, xətti fəza (0,1, Nx) х = х + məsələn, eros ((Na, Nx)) х = np.transpose(х) a = məsələn, Linspace (1,4, Na) a = a + məsələn, eros ((Nx, Na)) diapazondakı i üçün (100): x=a*x*(1-x) pt = [[a_,x_] üçün a_,x_ in zip(a.flatten(),x.flatten())] nöqtə (pt, ölçü = 1, figsize = (7,5))

Şəkilə (3) bənzər bir şey almalıyıq. Bu təsviri necə şərh etmək olar? Məsələn, a = 3.3 parametrinin dəyəri ilə biz 2 sabit sabit nöqtəyə sahibik (əhali ölçüsü hər ikinci mövsümdə eynidir). Bununla belə, a = 3.5 parametri üçün 4 sabit nöqtəmiz var (hər dördüncü mövsümdə əhali eyni sayda olur), a = 3.56 parametri üçün isə 8 sabit nöqtəmiz var (hər səkkizinci mövsümdə populyasiya eyni rəqəmə malikdir). Lakin a≈3.57 parametri üçün sonsuz sayda sabit nöqtələrimiz var (əhali sayı heç vaxt təkrarlanmır və gözlənilməz şəkildə dəyişir). Bununla belə, kompüter proqramı ilə a parametrinin əhatə dairəsini dəyişdirə və bu diaqramın sonsuz həndəsi quruluşunu öz əlimizlə araşdıra bilərik.

Bu aysberqin yalnız görünən hissəsidir. Bu tənlik haqqında minlərlə elmi məqalə yazılıb, lakin o, hələ də öz sirlərini gizlədir. Kompüter simulyasiyasının köməyi ilə siz ali riyaziyyata belə müraciət etmədən qeyri-xətti dinamika dünyasının qabaqcıl rolunu oynaya bilərsiniz. Sizi logistik tənliyin bir çox maraqlı xassələri və onları vizuallaşdırmağın maraqlı yolları haqqında təfərrüatları ehtiva edən onlayn versiyanı oxumağa dəvət edirik.

¹ Deterministik qanun, gələcəyin ilkin vəziyyət tərəfindən unikal şəkildə təyin olunduğu bir qanundur. Antonim ehtimal qanunudur. ² Riyaziyyatda "diskret" müəyyən bir hesablana bilən çoxluqdan dəyərlər almaq deməkdir. Bunun əksi “davamlı”dır.