Niyə biz sıfıra bölmürük?

Oxucular maraqlana bilər ki, mən niyə bütöv bir məqaləni belə bayağı bir məsələyə həsr edirəm? Səbəb adı altında təsadüfən əməliyyat keçirən tələbələrin (!) heyrətləndirici olmasıdır. Həm də təkcə tələbələr deyil. Bəzən müəllimləri tuturam. Belə müəllimlərin şagirdləri riyaziyyatdan nə edə biləcəklər? Bu mətni yazmağın bilavasitə səbəbi, sıfıra bölmənin problem olmadığı bir müəllimlə söhbət idi ...

Sıfırla, bəli, heç bir şeyin əngəlindən başqa, çünki gündəlik həyatda həqiqətən istifadə etməyə ehtiyacımız yoxdur. Sıfır yumurta üçün alış-verişə getmirik. “Otaqda bir nəfər var” sözü nədənsə təbii, “sıfır adam” isə süni səslənir. Dilçilər deyirlər ki, sıfır dil sistemindən kənardır.

Biz bank hesablarında da sıfır olmadan edə bilərik: sadəcə olaraq - termometrdə olduğu kimi - müsbət və mənfi dəyərlər üçün qırmızı və mavi rənglərdən istifadə edin (qeyd edək ki, temperatur üçün müsbət rəqəmlər üçün qırmızıdan istifadə etmək təbiidir, bank hesabları üçün isə bu. əksinədir, çünki debet xəbərdarlıq almalıdır, ona görə də qırmızı rəng çox tövsiyə olunur).

Sıfırı natural ədədə daxil etməklə biz fərqləndirmə məsələsinə toxunmuş oluruq Kardinal nömrələr od ev. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, ….. daxilində

ədədin gücü onun dayandığı yerin nömrəsi ilə eynidir. Əks halda, o, artıq 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, ….. ardıcıllığındadır.

Təkli dəstlərin sayı ikinci, iki elementli dəstlərin sayı üçüncü və s. Məsələn, yarışlarda idmançıların yerlərini niyə sıfırdan nömrələmədiyimizi izah etməliyik. Onda birinci yerin sahibi gümüş medal alacaqdı (qızıl sıfır yerin sahibinə gedirdi) və s.. Bir qədər oxşar prosedurdan futbolda istifadə olunurdu - Bilmirəm, Oxucular “birinci liqa” mənasını bilirlərmi “ ən yaxşısını izləyir." ", və sıfır liqa "böyük liqa" olmaq üçün çağırılır.

Bəzən biz arqumentləri eşidirik ki, sıfırdan başlamalıyıq, çünki bu, İT adamları üçün əlverişlidir. Bu mülahizələri davam etdirərək, kilometrin tərifi dəyişdirilməlidir - bu, 1024 m olmalıdır, çünki bu, bir kilobaytdakı baytların sayıdır (kompüter alimlərinə məlum olan bir lətifəyə istinad edəcəyəm: "Birinci kurs tələbəsi ilə bir kilometr arasında fərq nədir? informatika tələbəsi və bu fakültənin beşinci kurs tələbəsi? kilobayt 1000 kilobaytdır, sonuncu - kilometr 1024 metrdir")!

Onsuz da ciddi qəbul edilməli olan başqa bir nöqteyi-nəzər belədir: biz həmişə sıfırdan ölçürürük! Hökmdarda, məişət tərəzisində, hətta saatda istənilən tərəziyə baxmaq kifayətdir. Sıfırdan ölçdükdən və saymağı ölçüsüz vahidlə ölçmə kimi başa düşmək olarsa, sıfırdan saymalıyıq.

Bu sadə məsələdir, amma...

Ümumi mülahizəni tərk edib sıfıra bölməyə qayıdaq. Məsələ sadədir və bu olmasaydı, sadə olardı... bəs nə? Gəlin düşünək və cəhd edək. Nə qədər ola bilər - bir sıfıra bölünür? Baxaq: 1/0 = x. Hər iki tərəfi sol tərəfin məxrəci ilə çarpın.

1=0 alırıq. Bir şey səhvdir! Nə olub? Ah tahmin et! Birlik nisbətinin və sıfırın olması fərziyyəsi ziddiyyətə gətirib çıxarır. Əgər birini sıfıra bölmək mümkün deyilsə, başqa bir ədəd də ola bilər. Əgər, Oxucu, çiyinlərinizi çəkib müəllifin (yəni mən) niyə belə boşboğazlıqlardan yazdığını düşünürsünüzsə, o zaman... Çox şadam!

0/0 = 0 düsturu inadla müdafiə oluna bilərdi, lakin o, ədədin özünə bölünməsinin nəticəsinin birə bərabər olması qaydasına ziddir. Mütləq, lakin hesablamada 0/0, °/° və bu kimi simvollar tamamilə fərqlidir. Onlar hər hansı bir rəqəm demək deyil, müəyyən növlərin xüsusi ardıcıllığı üçün simvolik təyinatlardır.

Elektrik mühəndisliyi kitabında maraqlı bir müqayisə tapdım: sıfıra bölmək yüksək gərginlikli elektrik qədər təhlükəlidir. Bu normaldır: Ohm qanunu gərginliyin müqavimətə nisbətinin cərəyana bərabər olduğunu bildirir: V = U / R. Müqavimət sıfır olsaydı, nəzəri cəhətdən sonsuz bir cərəyan keçiricidən keçərək bütün mümkün keçiriciləri yandırardı.

Bir dəfə həftənin hər günü üçün sıfıra bölməyin təhlükələri haqqında şeir yazmışdım. Yadımdadır ki, ən dramatik gün cümə axşamı idi, amma bu sahədəki bütün işlərimə təəssüf edirəm.

Bir şeyi sıfıra böləndə

Çox erkən bazar ertəsi

Həftə nə oldu

Siz artıq uğursuzluğa düçar oldunuz.

Çərşənbə axşamı günortadan sonra

Məxrəcə sıfır qoyursunuz

Onda deyim, yanılırsınız

Pis riyaziyyatçı!

Sıfırdan keçəndə, pozğunluqla,

Çərşənbə günü ayrılmaq istəyirəm

Çox çətinliyə düşəcəksiniz

Başınızda ot və su var!

Müəyyən bir Bartek bizimlə idi.

O, qaydalara zidd idi.

Cümə axşamı, sıfıra bölünür.

O, artıq aramızda deyil!

Qəribə bir arzu səni tutsa

Cümə günü sıfıra bölün

Düzünü desəm, düzünü desəm:

Bu həftə sonu üçün pis başlanğıc.

Sıfır olanda, şənbə günü bir yerdə

Ayırıcı sizin olacaq (qalın deyil)

Kilsə hasarının altında diz çökün.

Bu sizin dirilişinizdir.

tire altında sıfır istəyirsən,

Bazar günü tətil edin

Təbaşir, qara lövhə gətirin.

Yazın: sıfıra bölünmür!

Sıfır boşluq və heçlik ilə əlaqələndirilir. Doğrudan da, o, riyaziyyata heç bir əlavə olunduqda onu dəyişməyən kəmiyyət kimi gəlib: x + 0 = x. Ancaq indi sıfır bir neçə başqa dəyərdə görünür, xüsusilə də kimi miqyaslı başlanğıc. Pəncərədən kənarda nə müsbət temperatur, nə də şaxta yoxdursa, onda ... bu sıfırdır, bu, ümumiyyətlə temperaturun olmadığı anlamına gəlmir. Sıfır dərəcəli abidə uzun müddət sökülən və sadəcə mövcud olmayan abidə deyil. Əksinə, Vavel, Eyfel qülləsi və Azadlıq heykəli kimi bir şeydir.

Yaxşı, mövqe sistemində sıfırın əhəmiyyətini çox qiymətləndirmək çətindir. Oxucu, bilirsinizmi, Bill Qeytsin bank hesabında neçə sıfır var? Bilmirəm, amma yarısını istəyirəm. Göründüyü kimi, Napoleon Bonapart insanların sıfıra bənzədiyini görüb: onlar mövqe vasitəsilə məna qazanırlar. Andrzej Wajdanın "İllər kimi, günlər keçdikcə" əsərində ehtiraslı rəssam Jerzy partlayır: "Filister sıfırdır, nihil, heç nə, heç nə, nihil, sıfırdır". Ancaq sıfır yaxşı ola bilər: "normadan sıfır sapma" hər şeyin yaxşı getdiyini bildirir və bunu davam etdirin!

Gəlin riyaziyyata qayıdaq. Sıfırı əlavə etmək, çıxmaq və çoxaltmaq olar. "Mən sıfır kiloqram qazandım" dedi Manya Anyaya. "Və bu maraqlıdır, çünki mən eyni çəki itirmişəm" deyə Anya cavab verir. Beləliklə, altı dəfə sıfır porsiya dondurma yeyək, bizə zərər verməz.

Sıfıra bölmək olmaz, amma sıfıra bölmək olar. Yemək gözləyənlərə bir boşqab sıfır köftə asanlıqla paylana bilər. Hər biri nə qədər alacaq?

Sıfır müsbət və ya mənfi deyil. Bu və nömrə qeyri-müsbətи mənfi olmayan. O, x≥0 və x≤0 bərabərsizliklərini ödəyir. “Müsbət bir şey” ziddiyyəti “mənfi bir şey” deyil, “mənfi və ya sıfıra bərabər olan bir şeydir”. Riyaziyyatçılar, dil qaydalarına zidd olaraq, həmişə deyəcəklər ki, bir şey "sıfır" deyil, "sıfıra bərabərdir". Bu təcrübəni əsaslandırmaq üçün bizdə var: x = 0 "x sıfırdır" düsturunu oxusaq, x = 1 udula bilən "x birə bərabərdir" oxuyuruq, bəs "x = 1534267"? Siz həmçinin 0 simvoluna ədədi dəyər təyin edə bilməzsiniz⁰nə də sıfırı mənfi gücə qaldırmayın. Digər tərəfdən, istədiyiniz zaman sıfıra kök ata bilərsiniz... və nəticə həmişə sıfır olacaq. 

eksponensial funksiya y = a^x, a-nın müsbət bazası heç vaxt sıfıra çevrilmir. Buradan belə çıxır ki, sıfır loqarifm yoxdur. Həqiqətən, a-nın b əsasına olan loqarifmi a-nın loqarifmini əldə etmək üçün əsasın qaldırılmalı olduğu göstəricidir. a = 0 üçün belə göstərici yoxdur və sıfır loqarifmin əsası ola bilməz. Lakin Nyuton simvolunun “məxrəcindəki” sıfır başqa bir şeydir. Güman edirik ki, bu konvensiyalar heç bir ziddiyyətə səbəb olmur.

yalan sübut

Sıfıra bölmə yalan sübutlar üçün ümumi mövzudur və hətta təcrübəli riyaziyyatçılarda belə olur. Ən çox bəyəndiyim iki nümunəni sizə verim. Birincisi cəbridir. Bütün rəqəmlərin bərabər olduğunu “sübut edəcəm”. Tutaq ki, bərabər olmayan iki ədəd var. Buna görə də onlardan biri digərindən böyükdür, qoy a > b. Fərz edək ki, c onların fərqidir

c \uXNUMXd a - b. Beləliklə, a - b = c var, buradan a = b + c.

Sonuncunun hər iki hissəsini a - b ilə çarpırıq:

a² - ab = ab + ac - b2 - bc.

Mən ak-ı sol tərəfə tərcümə edirəm, əlbəttə ki, işarəni dəyişdirməyi xatırlayıram:

a² - ab - ac = ab - b2 - bc.

Ümumi amilləri istisna edirəm:

A (a-b-c) \uXNUMXd b (a-b-c),

Paylaşıram və istədiyim şey var:

a = b.

Və əslində hətta qəribədir, çünki mən a > b olduğunu güman etdim və a = b ki, aldım.Yuxarıdakı misalda "aldadıcılığı" asanlıqla tanımaq olarsa, onda aşağıdakı həndəsi sübutda bu o qədər də asan deyil. Mən sübut edəcəm ki, trapesiya yoxdur. Trapesiya adlanan fiqur mövcud deyil.

Ancaq əvvəlcə fərz edək ki, trapesiya kimi bir şey var (aşağıdakı şəkildə ABCD). Onun iki paralel tərəfi var (“əsaslar”). Bu əsasları şəkildə göstərildiyi kimi uzadaq ki, paraleloqram əldə edək. Onun diaqonalları trapezoidin digər diaqonalını aşağıdakı kimi uzunluqları x, y, z ilə işarələnən seqmentlərə bölür. 1 rəsm. Müvafiq üçbucaqların oxşarlığından nisbətləri alırıq:

harada müəyyənləşdiririk:

Oraz

harada müəyyənləşdiririk:

Ulduzlarla işarələnmiş bərabərliyin tərəflərini çıxarın:

 Hər iki tərəfi x − z ilə qısaldaraq – a/b = 1 alırıq, bu o deməkdir ki, a + b = 0. Lakin a, b ədədləri trapesiyanın əsaslarının uzunluqlarıdır. Əgər onların cəmi sıfırdırsa, onlar da sıfırdır. Bu o deməkdir ki, trapesiya kimi bir fiqur mövcud ola bilməz! Düzbucaqlılar, romblar və kvadratlar da trapesiya olduğuna görə, əziz oxucu, romb, düzbucaqlı və kvadrat da yoxdur ...

Guess Guess

Məlumat mübadiləsi dörd əsas fəaliyyətdən ən maraqlısı və çətinliyidir. Burada, ilk dəfə olaraq, yetkinlik dövründə belə tez-tez rast gəlinən bir fenomenlə qarşılaşırıq: "cavabını təxmin et, sonra doğru təxmin edib-etmədiyinizi yoxlayın". Bunu Daniel K. Dennett ("How It Is – A Scientific Guide to the Universe", CiS, Varşava, 1997-ci ildə "Səhvləri necə etmək olar?") çox düzgün ifadə edib:

Bu "təxmin etmək" üsulu bizim yetkin həyatımıza mane olmur - bəlkə də biz bunu erkən öyrəndiyimizə görə və təxmin etmək çətin deyil. İdeoloji cəhətdən eyni hadisə, məsələn, riyazi (tam) induksiyada baş verir. Eyni yerdə biz düsturu “təxmin edirik” və sonra təxminimizin düzgün olub olmadığını yoxlayırıq. Şagirdlər həmişə soruşurlar: “Biz nümunəni necə bildik? Onu necə çıxarmaq olar?” Tələbələr mənə bu sualı verəndə onların sualını zarafatya çevirirəm: “Mən bunu peşəkar olduğum üçün bilirəm, bildiyim üçün pul alıram”. Məktəbdəki şagirdlərə eyni üslubda, yalnız daha ciddi cavab vermək olar.

İşdir. Qeyd edək ki, toplama və yazma vurmağa ən kiçik vahidlə, bölməyə isə ən yüksək vahidlə başlayırıq.

İki fikrin birləşməsi

Riyaziyyat müəllimləri həmişə qeyd etmişlər ki, bizim böyüklərin ayrılığı dediyimiz iki konseptual fərqli fikrin birliyidir: Mənzil i ayrılıq.

birinci (Mənzil) arxetipin olduğu vəzifələrdə baş verir:

Bölmək-bölmək Bunlar kimi vəzifələrdir:

? (Biz bu problemin orijinal üslubunu saxlayırıq, Julian Zgozalewicz-in 1892-ci ildə Krakovda nəşr olunmuş kitabçasından götürülmüşdür - zloti XNUMX əsrin əvvəllərinə qədər Avstriya-Macarıstan İmperiyasında dövriyyədə olan pul vahidi olan Ren zlotidir).

İndi iki problemi nəzərdən keçirin polyak dilində ən qədim riyaziyyat dərsliyi, atası Tomaş Klos (1538). Bölmədir, yoxsa kupe? XNUMX əsrdə məktəblilərin etməli olduğu şəkildə həll edin:

(Polşadan Polşaya tərcümə: Bir bareldə bir quart və dörd qab var. Bir qazan dörd quartdır. Kimsə ticarət üçün 20 zł-a 50 barrel şərab alıb. Rüsum və vergi (aksiz?) 8 zł olacaq. Nə qədər 8 zł qazanmaq üçün bir quart satmaq?)

İdman, fizika, uyğunluq

Bəzən idmanda nəyisə sıfıra (qol nisbəti) bölmək lazımdır. Yaxşı, hakimlər birtəhər bununla məşğul olurlar. Halbuki abstrakt cəbrdə bunlar gündəmdədir. sıfır olmayan miqdarlaronun kvadratı sıfırdır. Bunu hətta sadə izah etmək olar.

(y, 0) nöqtəsini (x, y) müstəvidəki nöqtə ilə əlaqələndirən F funksiyasını nəzərdən keçirək. F nədir², yəni F-nin ikiqat icrası? Sıfır funksiyası - hər bir nöqtənin təsviri var (0,0).

Nəhayət, kvadratı 0 olan sıfırdan fərqli kəmiyyətlər fiziklər üçün demək olar ki, gündəlik çörəkdir və a + bε formalı ədədlər, burada ε ≠ 0, lakin ε² = 0, riyaziyyatçılar çağırır ikiqat ədədlər. Onlar riyazi analizdə və diferensial həndəsədə baş verir.

Axı hesabda elə bir şey var ki, heç olmasa adında sıfıra bölmə var. -dən gəlir uyğunluq. Z tam ədədlər çoxluğunu işarələsin. Z çoxluğunu p-yə bölmək o deməkdir ki, biz hər bir ədədi (tam ədədi) bəzi digərlərinə, yəni onların fərqi bölünə bilənlərə bərabərləşdiririk. Beləliklə, 0, 1, 2, 3, 4 rəqəmlərinə uyğun gələn beş növ ədədimiz olduqda - 5-ə bölündükdə mümkün qalıqlar. Düstur belə yazılır:

fərq çox olduqda mod.

= 2 üçün bizim cəmi iki ədədimiz var: 0 və 1. Tam ədədləri iki belə sinfə bölmək onları cüt və təkə bölməyə bərabərdir. İndi onu əvəz edək. Fərq həmişə 1-ə bölünür (hər hansı tam ədəd 1-ə bölünür). =0 qəbul etmək mümkündürmü? Gəlin cəhd edək: iki ədədin fərqi nə vaxt sıfıra bərabərdir? Yalnız bu iki ədəd bərabər olduqda. Beləliklə, tam ədədlər toplusunu sıfıra bölmək məntiqlidir, lakin bu maraqlı deyil: heç nə baş vermir. Ancaq vurğulamaq lazımdır ki, bu, ibtidai məktəbdən məlum olan mənada ədədlərin bölünməsi deyil.

Bu cür hərəkətlər sadəcə olaraq qadağandır, eləcə də uzun və geniş riyaziyyat.

düyü. 2. Müqayisədən istifadə etməklə ədədlərin müəyyən edilməsi

(mod 5 və mod 2)